Философские основания и начала математики

Третья редакция

Аннотация

Для широкого круга читателей, интересующихся проблемой оснований математики, предлагаются ответы на такие вопросы: с какой целью древние шумеры создали свою математику, которая актуальна до сих пор? почему наша цивилизация использует математическую систему шумеров и сейчас, и будет ею пользоваться всегда? Тем самым в ответах на указанные вопросы будут представлены и философские основания математики, как таковой, в том числе и современной, и ее начала, т. е. фундаментальные первоосновы, заложенные еще древними шумерами. И в конце концов, здесь дан ответ на вопрос: что такое математика? Наряду с ее дефиницией, в рамках предлагаемой энтропийно-коммуникативной программы обоснования начал математики предложены определения алгоритма, социальной энтропии и Ноосферы. В многолетнем споре философов о соотношении прикладной математики и чистой, о приоритете какой-то одной из них над другой в данной работе совершенно отчетливо приводится аргумент от древних шумеров в пользу принципиального приоритета именно прикладной, прочный и глубокий по своему замыслу фундамент которой (а) был заложен еще тогда; (б) используется, по умолчанию, и в наше время; (в) будет использоваться и впредь. Именно на ее базисе, по мнению создателей древнего языка математики, которая по факту является, в свою очередь, прямым и непосредственным началом математики современной, должна быть надстроена теория, с одной стороны, с ничем не ограничиваемой степенью абстракции, а, с другой – все эти не конструктивные или «домысленные» нарративы теоретических посылов чистого разума, участвующие в создании математики, получившей название чистой и исполнение которой было начато еще ими, а затем продолжено Пифагором и его школой, должны удовлетворять одному непреложному условию. Все части (формы, разделы, структуры и т. п.) чистой математики, воссозданные и выстраиваемые на их основе, должны приводить к вычислительным результатам математики прикладной, причем к результатам, непротиворечиво редуцируемым к результатам на языке математиков древности, т. е. они должны однозначно и непротиворечиво редуцироваться именно к той системе информации, структура которой и была задумана, по всей вероятности, еще тысяч семь лет назад, как бы это необычно и не звучало сейчас. Можно сказать, что все эти надстройки математики чистой, осуществляемые с совершенно произвольной степенью абстракции, должны быть асимптотически сходящимися теориями (при всей беспредельности степени своих обобщений) с теорией информации шумеров в том смысле, чтобы обеспечивать сводимость информации, полученной на практике при их посредстве, к системе ее отображения непротиворечивого и без разночтений, предложенной еще в древности.
Все ключевые выводы предлагаемой теории сопровождаются математически вполне корректной и строгой аргументацией, приведенной в Приложении, которое в силу обилия специальных математических символов и формул доступно только в файлах PDF и MS WORD форматов (ссылки на эти файлы даны в конце данной страницы).

В оный день, когда над миром Новым
Бог склонял лицо свое, тогда
Солнце останавливали словом,
Словом разрушали города.
И орел не взмахивал крылами,
Звезды жались в ужасе к луне,
Если, точно розовое пламя,
Слово проплывало в вышине.
А для низкой жизни были числа,
Как домашний, подъяремный скот,
Потому что все оттенки смысла
Умное число передает.
Патриарх седой, себе под руку
Покоривший и добро, и зло,
Не решаясь обратиться к звуку,
Тростью на песке чертит число.
Но забыли мы, что осиянно
Только слово средь земных тревог,
И в Евангелии от Иоанна
Сказано, что Слово это — Бог.
Мы ему поставили пределом
Скудные пределы естества.
И, как пчелы в улье опустелом
Дурно пахнут мертвые слова.
Гумилев H.

Естества пределы столь скудны,
что с ними не под силу черты Всевышнего объять
ни Божьим словом, ни нижайшей цифрой.
Однако ж к смертному от нас
порой вопрос прозрачней будет оцифрованным,
понеже отповедь, дошедшая тотчас,
способна сохранять нам наши жизни.

Начала математики

Весьма примечательно, что у нас до сих пор нет простого и краткого ответа на вопросы, что такое математика и почему она столь эффективна во многих науках. Имеются свидетельства вполне компетентных людей о существовании такой проблемы, причем проблемы, имеющейся в этой науке уже не одно тысячелетие и ставшей особо остро ощущаемой лишь последние полтора-два столетия.
Так, например, известный историк математики и президент Международной Академии истории науки (МАИН) Юшкевич А. П. [7] заметил: “Если меня спросят, что же такое математика, я не сумею ответить”.
“Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить, что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет, которым занимаются так называемые математики”.
По словам М. Клайна [8, стр.16], один из величайших математиков XX в. Герман Вейль сказал в 1944 г.: “Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете математика, остается открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками. «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддается рационализации и не может быть объективным.”»
А вот что было найдено в известнейшей работе Р. Куранта [9, стр.20] в поиске ответа хотя бы на один из обсуждаемых вопросов:
«Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству.»…
«Без сомнения, движение вперед в области математики обусловлено возникновением потребностей…».
«Здесь не место входить в подробный философский или психологический анализ математики.» (И это в книге, озаглавленной «Что такое математика?»!!!)
«Если целью и является четкая дедуктивная форма, то движущая сила математики — это интуиция и конструкции.»…
«Получать результаты, имеющие научную ценность, свободный разум может, только подчиняясь суровой ответственности перед природой, только следуя некоей внутренней необходимости.» [9, стр.22] «И для специалистов, и для любителей не философия, а именно активные занятия самой математикой смогут дать ответ на вопрос: Что такое математика?» [9, стр.24] И далее в данной книге просто следовало пункт за пунктом подробное изложение всех основных разделов обсуждаемой науки.
И это все, что можно было бы в ней хоть как-то соотнести непосредственно с ответом на вопрос в заглавии его книги.
Дело в том, что, несмотря на многочисленные (особенно в последние пару столетий) попытки построить начала математики, искомые ответы на вышеприведенные вопросы до сих пор не получены, а также не удалось выяснить с чего она начинается, в чем причина ее появления и чем она является сама по себе. И вот чтобы лучше понять ее суть, прояснить ее действительные начала, ее роль и значение для Человека, я предлагаю обратиться к ее историко-хронологическим истокам, к ее зарождению в эпоху цивилизации древних шумеров. Я убежден, что реальные начала математики, в том числе и современной, были созданы многие тысячелетия назад, вероятно, этим народом (если еще не раньше), а затем развиты Пифагором и его последователями. Мое убеждение о шумерских корнях начал современной математики, не только исторических, но и концептуально-теоретических, основано на подробном анализе имеющихся в наше время артефактов. На основании выводов, следующих из него, именно шумеров можно отнести к первопроходцам в математике, именно они начали использовать шестидесятизначное позиционное счисление, правда в несколько неточной форме на первых порах. Чисто технически несложно объяснить почему они начали математику именно с данного счисления. Гораздо интереснее и полезнее найти более правдоподобный ответ, несмотря на публикуемое почти под копирку в исторических трактатах расхожее мнение по вопросу о том, зачем им вообще понадобилась математика с таким достаточно непростым счислением. Ответ на данный вопрос, который после тщательного анализа приводится ниже в статье, может показаться поначалу не столь предсказуемым, как хотелось бы. Тем более, что уже не одно столетие известная нам математика, наследница математики шумеров, преподносится, просто как особый вид интеллектуальной деятельности или, скорее, как некая абстрактная сфера занятий, общепризнанно эффективные результаты которых переходят в разряд непреходящих ценностей цивилизации, наподобие произведений художников, писателей, композиторов и т. п. Но неужели шумеры могли предвидеть, может спросить кто-то, что со временем их математика разрастется до масштабов современной и обретет роль и значение, которые мы ей отводим в настоящее время. Как будет ниже показано в статье, оказывается, по результатам все того же анализа, что все почти так и все несколько иначе. Важен ракурс, в каком рассматривается проблема.
В книге [21] мной впервые была приведена логически обоснованная последовательность и подробное изложение содержания основных этапов развития математики от шумеров и вплоть до Пифагора и его последователей включительно. В связи с тем, что в те далекие времена не существовало современных средств для изложения математических конструкций, но при этом одному человеку по ходу своих рассуждений все-таки удавалось убедить других в корректности и правильности умозаключений и достоверности ряда приводимых им последовательных выводов и всего излагаемого материала в целом, я посчитал возможным рискнуть изложить в статье идеи древних мудрецов планеты языком, использующим в самой малой мере дополнительные символы и специальные конструкции, чтобы эти идеи были восприняты как можно более широким кругом лиц, охватывающим, вероятно, людей самых различных занятий и интересов, людей всевозможных родов деятельности, а не только представителей узкого сообщества профессиональных специалистов-математиков. Самое главное, читайте текст, как всегда доверяя своей интуиции, которая совершенно правильно подскажет, почему автор делает тот или иной «поворот на извилистой тропе» своих рассуждений. Хотя это и может показаться странным для рассуждений математических, но правильно понять то, что автор хочет в наше время донести в них не до зрителя, а до читателя (или слушателя), можно только в том случае, если удастся «настроить в унисон» свои «интуитивные ожидания» с «интуитивными посылами» излагающего. По другому не получится и никогда не получалось с тех самых пор, когда древние греки впервые стали излагать свои идеи в книгах, заменив постепенно с их помощью очное обучение заочным. Лишь в конце XIX – начале XX вв. математики отчетливо осознали, что все математические доказательства действительно необходимо воспринимать только «интуитивно правильно», а иначе получится бессмыслица, и только тогда все они забили тревогу и озаботились наступившим «кризисом» в их науке. Однако за прошедшие с тех пор полтора-два столетия (хотя было сделано очень много действительно полезного и нового в математике вообще) они ни на йоту не продвинулись в его преодолении, а поэтому интуиция все так же «правит бал» в математике, и, как и прежде, без нее не обойтись при аргументации выводов и не только. Данная работа с акцентом на обоснование необходимости системы шумеров и ее определение, была впервые опубликована в 2024 году [25]. Здесь приводится ее третья редакция, отредактированная и значительно дополненная, так что все ключевые выводы предлагаемой теории сопровождаются математически вполне корректной и строгой аргументацией непосредственно в ее Приложении без ссылок на работу [21], как прежде. Поэтому ее можно рассматривать практически в качестве самостоятельной альтернативы книге [21] в ее части, касающейся начал математики, а также и в качестве более популярного дополнения ко всему ее содержанию. В целом теория начал математики, изложенная в ней, достаточно проста и хотя она несколько неожиданна, но нет и тени сомнений в том, что это как раз то, что нам нужно и именно то, зачем охотились математики во всем мире многие десятилетия. И действительно, какие могут быть сомнения, если многое из того, что они не могли прояснить до сих пор, излагается здесь простым языком понятно и предельно доходчиво для обычного человека, так что с этим невозможно не согласиться с учетом даже весьма рискованных предлагаемых гипотез, которые, вполне очевидно, должны быть перепроверены и перейти из разряда гипотез в разряд эмпирических фактов. Несомненно также, что в силу очевидности предназначения предложенной конструкции и предельно простой и ясной концепции в ее фундаменте данная теория очень быстро «проторит себе тропинку» не только к ученым мужам, но и к студентам и, возможно, даже к некоторым школьникам старших классов, что в конечном итоге повлияет на корректировку мировоззрения самых широких слоев населения.

I. Философские основания математики

1. Предпосылки и концепция специальной коммуникативной системы шумеров

Известно, что шумеры создали 60-значное позиционное счисление. Будет вполне правомерным спросить: зачем и почему.
1. Итак, первый вопрос – зачем? Вообще-то они создавали ничто иное, как специальный язык. Дело в том, что наш русский язык, как и любой другой иностранный, и язык шумеров в том числе, создавался стихийно. Каждый из этих естественных языков, развиваясь в своей популяции, со временем привносил все большее и большее взаимопонимание между людьми в ходе межличностного общения, что в результате способствовало становлению все более и более устойчивого существования всего их социума в целом. Несомненно также, что это сопровождалось и расцветом тех или иных древних цивилизаций, и расцветом культур отдельных народов и т. д. Однако при всех плюсах каждый из них имеет один и тот же недостаток. Люди, говорящие даже на одном и том же языке, могут столкнуться с совершенно непреднамеренным недопониманием друг друга, что в особых случаях может привести к розни и междоусобице, а в чрезвычайных ситуациях и к гибели людей как друг от друга, так и в результате каких-либо стихийных бедствий, например, из-за неоказания взаимопомощи. В любом случае это снижает устойчивость существования нашей цивилизации. И причиной всему этому, повторим, является просто возможность возникновения недопонимания человека человеком. А источником таких проблем внутри каждого естественного языка является неоднозначность как отдельных слов, так и целых выражений. Ведь все мы хорошо знаем, что значение каждого слова, например, у нас в русском языке прописано в толковых словарях так, что оно определяется через другие слова нашего же языка. Получается, что одни слова определяются через другие, другие – через третьи, и т. д. и т. п. Мало того, что по этой причине в их семантике отчетливо прослеживается «эффект домино» (чуть-чуть «качни» семантику одного – «аукнуться» такое изменение может на значении многих других), так составленные из них фразы могут иметь еще большее количество «разночтений» (различных значений) даже без учета сопутствующих интонаций. Поэтому, отдавая себе полный отчет обо всех вышеперечисленных свойствах своего языка, шумеры решили создать язык искусственный, совершенно лишенный указанного недостатка языка родного естественного. Они понимали, что человек – существо социальное, что коллектив человеческий более устойчив в своем существовании и обладает гораздо большей мощностью в сравнении с разобщенной толпой одиночек, а для более тесного сплочения коллектива требуется язык «без разночтений», причем язык – «один для всего». Вот и все. Это уже потом совокупность внутренних правил составления «слов» и «фраз» ими созданного искусственного языка – его грамматику – станут называть наукой математикой, «слова» – числами, «фразы» – выражениями математическими, а сам язык – будут называть счислением.
2. На приведенную проблему естественного языка можно взглянуть и в ином ракурсе. Специалисты [1] уже в наше время установили, что среди всех представителей флоры и фауны на Земле существуют системы коммуникации в некотором смысле подобно тому, как между людьми существует система межличностного общения при посредстве языка. В каждом из таких случаев они говорят о существовании своей, отличной от других, модели коммуникации между объектами живой природы, а обо всем их широчайшем спектре, как об особом классе различающихся моделей. Все модели, будучи объединенными в единый класс по своему главному свойству, т. е. по предназначению являться средством коммуникации, пестрят широчайшим многообразием своих прочих свойств. Его представителями являются, например, такие примитивные нерепрезентативные модели, которые имеют место при внутриклеточной и межклеточной коммуникации (с помощью сигналов при посредстве последовательностей различных химических реакций) или при «безадресной» химической коммуникации (сигнализировании) бактерий или растений, которые не направленно излучают химические вещества в окружающую среду. Среди прочих, рассматриваемых специалистами, отдельное место в этом классе занимают так называемые репрезентативные (символические, «кодовые») модели. В такой модели сигнал (знак, символ, слово) репрезентирует (кодирует) некую самостоятельную информацию (значение, смысл) отличную от самого сигнала (кода). В отличие от «сигнальных» и «безадресных», которые не являются репрезентативными моделями в традиционном лингвистическом (семиотическом) понимании, действительно «репрезентативная (референтная, семантическая) коммуникация, характерная, например, для пчел, птиц, дельфинов, приматов и человека, напротив, предполагает определенную целенаправленность и условность переданного сигнала по отношению к обозначаемому объекту, наличие познавательных процессов и приобретенного опыта (памяти) у реципиентов сообщения, а также необходимость контекстно-обусловленной интерпретации» [1]. Другими словами, такого сорта модели непосредственно связаны со смысловыми значениями элементарных квантов информации, т. е. обусловлены существованием факта «семантичности» элементов языка общения (звуков, слов или, в более общем случае, волновых пакетов из некоторого спектра частот), а также с процессами познания и интерпретацией. Особое место в этом классе занимает модель коммуникации, к которой относится естественный язык человека. В сравнении с другими она хоть и является репрезентативной моделью, тем не менее для нее характерна еще и условность, или конвенциональность средств языковой репрезентации, которая, ко всему прочему, сама по себе изменяется в широких пределах как в пространственных границах, так и во времени. И вот во всем этом многообразии моделей коммуникации прослеживается очень интересное свойство, характерное совершенно для всех представителей этого класса. В условиях реализации каждой модели нетрудно найти степень свободы (зачастую и не одну) для возможности свершения в рамках этой модели «непреднамеренной ошибки» в процессе передачи информации от источника к ее конечному получателю. И не столь важно в какой модели и на каком конкретном этапе передачи информации может происходить «сбой», главное, что в конечном результате в каждой модели сохраняется вероятность того, что потребитель может получить информацию как идентичную той, что послал источник, так и совершенно отличную от нее. А с учетом того, что наряду с внутривидовыми специалисты отмечают существование у живых объектов и межвидовых моделей коммуникации, обладающих тем же недостатком, нетрудно сделать следующий вывод. Все эти разные природные системы коммуникации, будучи призванными по своей сути соучаствовать в реализации механизма наследственности между объектами живой материи и действуя на разных уровнях организации последней, обладают к тому же одним общим недостатком «сбаивания» сообщений в процессе информационного обмена, который в Природе обращен в одно из главных преимуществ (!?!?) тех же объектов живой материи, так что система коммуникации становится одним из инструментов, сопутствующим еще и их эволюционной изменчивости. Таким образом, несмотря на многообразие различий между моделями коммуникаций, каждая из них со всеми своими преимуществами и недостатками является природным инструментом, сопутствующим реализации дарвиновского процесса эволюции на соответствующем уровне организации взаимодействия между объектами живой материи. В этом ракурсе становится вполне очевидным, что цель шумеров заключалась в овладении кроме естественного языка, способствующего рутиной (естественной, природной) наследственности и изменчивости в процессе эволюции человека, еще и языком специальным или рукотворным, в котором недостаток «сбаивания» сообщений сведен к минимуму, а потому практически исключающим возникновение информационно-коммуникативных причин случайной видовой изменчивости на самом высшем уровне организации живой материи, представителем которого является человек. Несомненно, что данное свойство позволяет такому средству коммуникации стать наиболее эффективным инструментом укрепления наследственности и целенаправленной видовой изменчивости, а в связи с этим, в ходе подобного рода целенаправленной эволюции, значительно ускорять прогресс всей человеческой цивилизации в целом и повышать устойчивость ее существования. По сути дела, ко всем естественным моделям коммуникации они решили добавить одну рукотворную. И какую!!!
3. В поисках подходящих аргументов появилась идея воспользоваться еще некоторыми метафорами и аналогиями, часто встречающимися в окружающей среде, с некоторыми из которых, несомненно, приходилось сталкиваться и шумерам. Например, в неживой природе широко известен такой феномен как резонанс. По существу, речь идет об эффекте чрезвычайно резкого усиления мощности взаимодействия некоторого множества дискретных объектов, когда каждый из них и все они вместе достигают особого состояния, скажем так, когерентного, и находятся в нем продолжительное время. Исследователи давно подметили, что в Природе одни и те же структуры, закономерности, эффекты и т. п. часто повторяются на различных уровнях организации материи. А посему, чтобы проанализировать в более полной мере концепцию математики шумеров с учетом ее различных аспектов, в том числе и тех, которым до сих пор не уделялось должного внимания, а также убедительно и доходчиво объяснить предпосылки ее появления, обратимся сначала к теме резонансного увеличения мощности взаимодействия отдельных объектов в специально созданных условиях.
У многих на слуху, например, лазерный луч. Его природу объясняют следующим образом. Имеется конечное множество дискретных объектов, например, множество атомов в узлах кристаллической решетки, каждый из которых в результате внешнего воздействия (в частности, при облучении всего кристалла световым пучком) является источником излучения вторичных волн, обладающих сравнительно небольшой порцией энергии, и эта энергия в обычных условиях, как правило, равномерно распределяется в окружающем пространстве. Дело в том, что такие импульсы излучения в разных источниках испускаются спонтанно, т. е. совершенно случайным образом через неодинаковые промежутки времени, и отдельные порции исходящей от них энергии распространяются в пространстве волнами с различными скоростями, частотами и случайными фазовыми сдвигами относительно друг друга. И в целом получается весьма заурядная и «смазанная» картина распределения энергии, испускаемой всеми источниками. Мало того, что никак она не концентрируется, а равномерно распространяется по сфере вокруг всего их множества, но еще и излучение от любого из них может подавлять частично или полностью порцию энергии соседнего источника или целой группы соседних, поскольку при наложении одних волн на другие в результате интерференции некоторые из них могут частично или полностью гаситься друг другом, если волны даже одинаковой частоты имеют разные фазы. Однако в последнем столетии человек научился не только концентрировать потоки энергии от таких источников и управлять вектором их движения так, что все они формируют достаточно узкий направленный пучок, но и создавать специальные условия, при которых эти же источники могут излучать энергию не только синхронно, но и синфазно, чтобы при интерференции волны не ослабляли, а усиливали друг друга. Принято говорить, что совокупность всех условий приводит в данном случае множество источников в когерентное состояние. В итоге подобного рода комплекс мер позволяет фактически добиться резонансного усиления совокупной мощности некоторого конечного множества отдельных дискретных излучателей, находящихся в таком (когерентном) состоянии, т. е. добиться от них резкого возрастания суммарной мощности направленного потока энергии в узком пучке, который и получил название луча лазера. Еще раз заметим, что в любой точке вокруг этого же множество источников, совершавших практически ту же работу при обычных условиях, фиксировалось значение выделяемой ими энергии на многие порядки ниже ее значений в луче лазера.
Известны еще и многие другие случаи резонансных эффектов, которые могут быть даже не всегда полезны и с которыми инженерам зачастую приходится бороться при создании новаторских технических конструкций. Главным образом, резонанс, как устойчивый феномен, наблюдается при изменении поведения именно сравнительно независимых (разрозненных) объектов так, что они как бы «объединяются в единый коллектив» и начинают действовать «сообща». Фактически наш физический предметный мир устроен так, что «коллективный эффект» играет в нем весьма существенную роль, судя по тому как часто резонанс встречается в окружающей среде, причем в ее объектах, имеющих совершенно разную природу. По образцу и подобию с неживой природой «коллективный эффект» имеет место и среди объектов живой материи, о чем, вполне очевидно, могло быть хорошо известно еще и древним шумерам. Одним из них является, например, мурмурация, т. е. фактически наблюдаемое явление скоординированного полета множества птиц в большой стае, или аналогичным образом согласованное поведение отдельных особей в огромных косяках рыб или роях пчел. Замечен весьма интересный факт, что при таком способе поведения этот социум данного вида особей способен противостоять практически всем видам своих типичных хищников, при встрече с которыми в иных обстоятельствах у них совершенно нет никаких шансов выжить. Словно в данном рое (косяке, стае) многократно усиливаются возможности каждой отдельной особи для противостояния любому хищнику, для которого в иных случаях не составляет никакого труда выхватить любой единичный экземпляр из такого же роя (косяка, стаи), если он (рой) находится в обычном, а не «мурмуративном» состоянии. В настоящее время данный феномен исследован еще настоль слабо, что для объяснения его даже на качественном уровне наряду с эмпирическими фактами можно приводить только гипотезы. Вполне естественно предположить, что в обычном состоянии, когда все особи данного вида фауны почти равномерно распределены в пределах ареала своего обитания, действия каждой отдельной из них весьма слабо зависят от результатов коммуникации с другими сородичами. В состоянии же мурмурации наблюдается совершенно иная картина. Во-первых, явно заметна необычайно высокая плотность представителей данного вида в достаточно ограниченном объеме пространства. Далее, в таком состоянии их поведение похоже на поведение группы пловцов-синхронистов, выполняющих специальные спортивные упражнения на воде. Каждая отдельная особь как будто привязана ко всей остальной стае, все ее действия практически в тот же момент времени в точности копируют поведение любой другой из этого коллектива так, что они все вместе одновременно и совершенно синхронно способны совершать и крутые виражи, и сложные кульбиты, и пр., не говоря уже о более простых формах передвижения всего их социума в пространстве. В то же время было замечено, что в каждом случае в этих коллективах происходит несколько необычное взаимное общение между особями. Вполне вероятно, что данное поведение всего их социума в целом является результатом именно специфического (особого) и высокоэффективного метода коммуникации между отдельными особями. Иных причин достижения такой формы поведения (состояния) всей стаи/косяка/роя трудно найти. Другими словами, похоже, что путь к достижению подобного состояния действительно пролегает через тернии коммуникации, и эффект их «синхронного поведения» становится возможным, вероятно, только при преодолении некоего порога во взаимодействии, за которым все они оказываются на недосягаемо высоком для обычных условий их существования уровне внутривидовой коммуникации.
С точки зрения такой феноменологической теории, как современная термодинамика, их действия в обычном состоянии можно рассматривать как энергозатратные стохастические бифуркации в очень разряженной «порции идеального газа» из представителей данной формы материи. Ведь каждая особь, стремясь выжить, использует различные индивидуальные способы продления своей собственной жизни. И ее движение в пространстве в процессе такой борьбы за выживание в течение всей ее жизни является практически хаотичным. Меру средней кинетической энергии (или скорости) хаотического движения особей в популяции при выборе соответствующих масштабов пространственно-временных параметров, определяющих данное движение (по аналогии с определением масштаба геологического времени), можно интерпретировать как термодинамическая температура всей этой системы, подобно тому, как этот же параметр определяется в классической термодинамике. Независимость или несогласованность (хаотичность) активных действий отдельных индивидуумов в обычных ситуациях является весьма веской причиной появления разновекторных импульсов в эволюционном движения всей популяции в направлении к предельному или пиковому ее состоянию, т. е. к состоянию с максимально возможной устойчивостью ее существования среди других форм материи. Согласно дарвиновской теории эволюции, благодаря наследственности и изменчивости, а по сути, можно сказать, методом проб и ошибок, популяция в целом весьма медленно движется в данном направлении, заменяя постепенно шаг за шагом через многие поколения одно свое состояние на другое. В этих условиях разновекторная направленность действий отдельных индивидуумов способствует «рассеиванию» энергии, производимой суммарной работой всего коллектива, в том смысле, что лишь незначительная ее часть реально идет в «актив-копилку» дарвиновской видовой эволюции, т. е. эффективно используется в поэтапном изменении состояний непосредственно для «укрепления» потенциала данной формы материи, для повышения устойчивости ее существования среди других видов. А часть работы, которая произвела порцию «рассеянной» энергии, определяет величину параметра, который можно интерпретировать как количество теплоты, выделенной популяцией в окружающую среду. Фактически, это часть энергии является потерянной непосредственно для нужд эволюционного движения всего вида «вперед», работа множества субъектов ее производящих, можно сказать, безвозвратно «распыляется» в пространстве и времени в форме выделяемой популяцией теплоты в окружающую среду. В то же время к оценке порции «безвозвратно распыляемой» работы, производимой индивидуумами, следует относиться весьма аккуратно. Хотя часть работы, совершаемая внутри системы, и не идет непосредственно на переход системы в следующее состояние, но в нее входит немало работы, способствующей опосредованному движению вида эволюционировать в нужном направлении. Ее составляет рутинная работа, например, по воспроизводству потомства, его охране, сохранению его жизнеспособности и пр., т. е. работа, необходимая для поддержания надлежащих условий своего существования в текущем состоянии, без чего не может быть и речи о последующем переходе в более эффективное состояние всей системы в ходе дальнейшей эволюции вида. Тем не менее, поскольку большая часть энергии, произведенной популяцией, не идет непосредственно на переход системы в новое состояние в направлении к предельному и рассеивается в виде выделяемой в окружающую среду теплоты, то и КПД всех «энергопроизводителей» в данной системе при переходе обсуждаемой формы материи от одного состояния к следующему, в процессе рутинной дарвиновской эволюции, чрезвычайно низок. В противоположность повседневному состоянию популяции, в состоянии ее мурмурации энергия рассеивается мало, т. е. практически вся работа, производимая отдельными членами, привносит эффективный вклад (здесь и сейчас) в общую работу всей стаи, следовательно, КПД высок. Согласно теории энтропии Рудольфа Клаузиуса, при сравнении двух состояний термодинамической системы то из них обладает большей энтропией, в котором большая часть производимой энергии используется не эффективно, т. е. в котором большая часть энергии, попросту говоря, без пользы рассеивается в окружающем систему пространстве в виде теплоты. А поэтому в состоянии мурмурации вся система имеет если и не наименьшую, то весьма незначительную энтропию.
Теперь попробуем дать физическую интерпретацию тому параметру системы, который может изменяться и экстремальное значение которого определяет предельное или пиковое состояние вида с наиболее устойчивым существованием среди других форм материи. Заметим, что если состояние мурмурации стаи еще не соответствует состоянию популяции с максимальным потенциалом, то они весьма близки друг к другу, если их сравнивать по уровню энтропии. А коли так, то, судя по большой плотности популяции в состоянии мурмурации, можно предположить, что система в предельном состоянии с максимальным потенциалом устойчивости собственного существования, по всей вероятности, должна обладать незначительным объемом. Вероятно, судя по тому, что любому хищнику чрезвычайно трудно внедриться в «мурмуративную» стаю, можно было бы связать данный эффект, например, с тем, что в состоянии мурмурации стая имеет чрезвычайно большой параметр, который допустимо интерпретировать как внутреннее давление. Однако определим интерпретацию теории эволюции Дарвина в терминах термодинамики следующим образом. Естественная эволюция видов происходит в направлении достижения их популяцией состояний с уменьшенной внутривидовой энтропией S, уменьшенным объемом V (или с увеличенной плотностью $\rho$ ) и с увеличенными внутренней температурой T (или с увеличенной средней скоростью движения всей популяции в данном направлении) и внутренним давлением P. Для наших целей в такой интерпретации более важен основной закон теории эволюции Дарвина, который можно сформулировать следующим образом. Рассматривая формально текущую популяцию конкретного вида фауны как некое промежуточное состояние термодинамической системы, можно утверждать, что естественная эволюция видов в силу их собственных внутренних факторов происходит путем смены термодинамических состояний систем в направлении уменьшения внутривидовой или социальной (социально-термодинамической) энтропии S. А нулевое значение энтропии и есть то значение параметра, который определяет предельное состояние потенциала системы.
Наряду с этим, рассмотрим обычное и мурмуративное состояния популяции с позиций статистической физики. В первом случае мы имеем множество практически мало связанных друг с другом различных состояний отдельных индивидуумов. Значит в обычных условиях «макросостояние» данной социальной системы, т. е. текущее состояние всей популяции, реализуется практически максимальным числом различных «микросостояний» (индивидуальных состояний). Во втором случае, т. е. в состоянии мурмурации, число различных «микросостояний» минимально, т. к. все они действуют совершенно одинаково («в едином порыве») так, что и движение каждой особи, и движение всей стаи математически поддается почти такому же описанию, словно в целом все это множество представляет собой если и не единое и «монолитное» твердое тело, то уж, по крайней мере, ограниченный объем очень вязкой (или слабо текучей) жидкости. Следуя Людвигу Больцману и Джозайи У. Гиббсу, в статистической физике большему числу различных «микросостояний» соответствует большая величина такого параметра всей макросистемы (стаи, роя, косяка), как энтропия. Поэтому то же множество птиц имеет значительно меньшую энтропию в состояние мурмурации, нежели в состоянии обычном.
Хорошо известно, чтобы описать движение любой точки произвольно движущегося твердого тела, достаточно знать лишь формулу движения его центра тяжести и расстояние от этого центра до заданной точки. Такое становится возможным вследствие некоторого физического состояния всей материи, всего твердого тела, в данном объеме, когда множество отдельных «порций материи» (молекул или атомов), находящихся в различных точках этого тела, сравнительно жестко связаны друг с другом так, что макроскопически они движутся единым ансамблем. В то же время, если в данном объеме находится не твердое тело, а газ, то, чтобы описать движение отдельной «точечной порции материи» в нем, необходимо иметь математическую формулу, описывающую движение материи именно в данной и только в данной точке объема. Таким образом, вследствие слабой взаимной связи между молекулами, для описания движения материи во множестве точек газового объема необходимо знание такого же множества отдельных формул движения каждой из них. Это значит, что с позиций теории информации, для описания движения любой точки внутри некоторого объема требуется намного меньше информации, если в нем находится твердое тело, нежели газ. А потому и информационная энтропия в первом случае будет намного ниже, чем во втором. То есть стая, как система, в которой все отдельные особи, находясь в состоянии мурмурации, движутся словно «единый монолит», и с точки зрения теории информации обладает намного меньшей энтропией, нежели если эта же стая находится в обыденных условиях.
К слову сказать, подводя итог рассуждениям об энтропии в различных ее аспектах с точки зрения современной науки, можно привести и пример из фольклора, который еще и вполне уместен в качестве подходящей метафоры, к тому же он достаточно точно и просто на качественном уровне проясняет связь энтропии, т. е. параметра системы, суть которого многим трудно усвоить, с другой уже хорошо усвоенной характеристикой систем. В частности, речь идет о пословице: «Слаб отдельно каждый прутик. Веник целый не сломать». А точнее о притче про старика, который напутствовал своих сыновей жить в мире и согласии, а на их недоуменный вопрос «зачем жить так», он дал им веник и попросил его сломать; видя, что у них ничего не получается, он разобрал веник на отдельные веточки и попросил теперь переломать их все поодиночке, и когда они успешно справились с последним заданием, он и сказал им: «Вот так же и вас будет трудно сломать, когда вы будете едины». Иными словами, система из «разрозненных» (независимых) объектов «слаба» в силу ее высокой энтропии, а система «сплоченная в единый монолит» обладает намного большей внутренней прочностью (систему труднее разрушить), и ее энтропия чрезвычайно низка. Представляется, что в более популярной форме качественную интерпретацию понятия энтропии через метафору, по крайней мере для статистической физики, едва ли можно сыскать.
4. А теперь, разобравшись с метафорами и аналогиями, вернемся к теме параграфа и попытаемся с общефилософских позиций современности продолжить анализировать идеи, вероятно, подобные тем, что занимали мыслителей древних шумер и подвигнувших их на разработку своей концепции системы коммуникации, названной впоследствии математикой.
Известно, что многие виды живых организмов издавна вели и ведут групповой образ жизни. Их особи объединяются в семьи, стаи, племена, стада, в родовые, племенные образования и т. п. Согласно современным представлениям подобное объединение разрозненных индивидуумов живой материи в коллективы способствует значительному повышению их жизнеспособности и выживаемости, а в целом позитивно влияет на устойчивость существования всего данного вида. Однако, если с причиной объединения в семьи и с пользой от этого для устойчивости вида в целом все более-менее понятно, то до сих пор совершенно не ясно почему этот эффект имеет место в других случаях и какой конкретно механизм непосредственно способствует его достижению в таких ситуациях. Очевидно, что ответ следует искать внутри системы межсубъектной коммуникации.
Функциональными инструментами коммуникации у каждой особи являются ее собственные биологические (биохимические) механизмы, обеспечивающие возможность подачи сигнала в окружающую среду и получения сигнала оттуда. Хотя у особей одного вида имеются одни и те же коммуникативные инструменты, но иной и не менее важный информационно-сигнальный ресурс – способность кодирования посылаемых и декодирования (интерпретации) получаемых сигналов – у них совершенно индивидуален. И поэтому именно он должен препятствовать эффективному взаимодействию в коллективе. В то же время анализ исторических артефактов и опыт наблюдений подсказывает, что данный ресурс весьма гибок, он может в процессе эволюции изменяться под внешним влиянием, в частности, при взаимодействии с другими особями. Но каким образом и почему?
Для выяснения этого обратимся к эмпирическим фактам, собранным учеными о, так называемой, спонтанной синхронизации объектов, имеющих гибкую связь друг с другом. В качестве примера синхронизации неодушевленных объектов, имеющих изначально разную собственную частоту колебаний, рассмотрим демонстрационный опыт с двумя одинаковыми метрономами. Поместим их на нестабильную платформу и запустим у каждого из них маятник произвольным образом. Эксперимент показывает, что через некоторое время маятники начинают двигаться совершенно синхронно [10]. Исследователи отмечают, что сам по себе феномен спонтанной синхронизации универсален. Он наблюдается, во-первых, с произвольно большим количеством участвующих объектов, во-вторых, в различных пространственных масштабах, от размеров микромира до размеров космических, а гибкая связь межу осцилляторами (маятниками), в-третьих, может быть любой природы: механическая, гравитационная, электрическая, химическая и т. п. То есть любой способ, при котором два объекта взаимодействуют друг с другом, вполне подходит для синхронизации. Кроме того, отмечено, что с усилением связи между ними существенного эффекта в ускорении их синхронизации не наблюдается. Для общего случая существует математическая модель, которую разработал Е. Курамото [11], и качественно данный эффект можно объяснить с ее помощью следующим образом. Договоримся отображать состояние одиночного осциллятора точкой, движущейся по окружности с произвольной скоростью. Пусть имеется группа осцилляторов, и каждому соответствует своя собственная точка, движущаяся по одной и той же окружности в одном и том же направлении со своей собственной скоростью. Согласно модели Курамото скорость, с которой каждая из точек проходит окружность соответствует собственной частоте осциллятора плюс некоторое число, отражающее удаленность от остальных точек, а оно зависит от того, насколько в процессе движения точек (т. е. во времени) изменяются параметры связи между осциллирующими объектами. При произвольном нестабильном относительном движении осцилляторов параметры связи между каждой их парой изменяются прямо в процессе их собственного движения, а измененная связь оказывает обратное воздействие на каждый объект своей пары, меняя незначительно характер (фазу, частоту) их относительного движения. И с течением времени все точки внезапно начинают двигаться по окружности с одинаковой скоростью. Процесс спонтанной синхронизации сравнивают с кристаллизацией воды при ее охлаждении. В процессе понижения температуры вода все время находится в жидком состоянии. И только на определенном этапе практически скачком ее молекулы вдруг кристаллизуются, осуществляя, так называемый, фазовый переход. В некотором смысле аналогичный эффект наблюдается и в процессе синхронизации маятников. Имеющаяся между ними гибкая связь оказывает влияние на их относительное движение так, что они поэтапно шаг за шагом, как уже выше отмечалось, изменяют свою фазу, оказывая, в свою очередь, также поэтапно обратное влияние на корректировку параметров связи между ними. В какой-то момент, когда связь между маятниками достигает критических параметров, они вдруг «фиксируют свою фазу», т. е. они подобно молекулам воды также совершают фазовый переход только не в пространстве, а во времени, продолжая движение с одной и той же частотой. По сути такого рода «кристаллизацию» во времени и называют синхронизацией. Для нашей темы важно еще то, что данный эффект наблюдается и среди насекомых, и среди животных, и не только. Например, масса прогуливающихся людей, заполонив открывшийся в 2001 году в Лондоне для прогулок новый мост Миллениум через Темзу, едва не обрушила его в первый же день, внезапно начав шагать «в ногу», казалось бы, без видимых на то причин. Фактически это произошло в результате обратного действия, которое оказывала на них раскачивающаяся конструкция подвесного моста, стимулируя синхронизацию их движения так, что все они вместе, в конце концов, вдруг стали синхронно идти «в ногу». Причем, заметьте, изначально это был вовсе не четко организованный строй военных, а обычная масса, вероятно, сотни или даже тысячи, вальяжно прогуливающихся любопытных обывателей зачастую со своими домочадцами мал мала меньше.
Справедливости ради следует заметить, что все эти разрозненные факты достаточно хорошо исследованы, но только как частные случаи. А общую систему из них еще не построили. Не так это просто сделать, по мнению специалистов. Но в нашем случае этого и не требуется, нам важно другое.
В современном естествознании для описания объектов микромира укоренилась дуальная концепция, а именно, корпускулярно-волновая. Это значит, что, например, взаимодействия частиц, атомов и т. п. можно оценивать и как взаимодействия корпускул, т. е. твердых тел, и как взаимодействия волн. В то же время, все объекты макромира состоят из атомов, молекул, их соединений, их структур или макроструктур, т. е. из тех самых объектов микромира, для описания которых и используется данная концепция.
Примем гипотезу, назовем ее гипотезой «концептуального масштабирования», согласно которой в рамках корпускулярно-волновой концепции допускается описание состояния объекта произвольного масштаба и любой природы, а также его взаимодействия с другими объектами во Вселенной. В соответствии с данной гипотезой не только частицы микромира, но и произвольную особь любого вида живой материи, в том числе и произвольного субъекта нашей цивилизации можно описывать наряду с корпускулярными еще и волновыми методами как некий осциллятор, что позволит выделить периодичность процессов в его состоянии, периодичность в поведении, взаимодействии с окружающей средой и т. п. Предложенная гипотеза и волновой метод описания макрообъектов не должны выглядеть «искусственно притянутыми», ведь все их собственные атомы, молекулы и молекулярные соединения постоянно осциллируют в течении всего времени существования данного объекта. Почему же объект в целом не рассматривать в том же ракурсе, как комплексную систему квантовых объектов, результат взаимодействия которых является определяющим в формировании его собственного «макроповедения?! В частности, каждая клетка и каждый внутренний орган человека состоят из системы квантовых объектов подобного рода. Изменение состояний комплекса квантовых объектов в одной из внутренних систем человека инициирует излучение или поглощение (в зависимости от типа изменения состояний) квантовых частиц. Именно они, как материальные агенты-переносчики энергии, реализуют (осуществляют) взаимодействие между другими его внутренними системами. В целом получается следующая картина. В результате воздействия на те или иные внутренние системы человека происходит изменение состояний квантовых комплексов этих систем и они через посредство материальных агентов-переносчиков энергии обмениваются сигналами с другими системами, изменяя состояния квантовых комплексов последних. При этом следует отметить, что основой квантового комплекса любой внутренней системы (любого внутреннего органа, клетки) человека является унифицированная молекулярная структура – геном (ДНК). Таким образом, внутренние системы человека, принимая те или иные сигналы опосредованно через унифицированные квантовые комплексы определяют и его «макросостояние» в целом. Поэтому совершенно без каких-либо «натяжек» можно утверждать, что его поведение в макромире определяется «чередой» сменяющихся состояний его квантовых объектов. Другими словами, перед нами «классическая» картина квантовой механики, т. к. именно обмен квантово-механическими частицами между его квантово-механическими объектами формирует, в конце концов, поведение человека в макромире. Вполне вероятно, лишь конечные выводы необходимо в некоторой мере корректировать с учетом масштабов макрообъекта.
В таком случае, представляя предложенным методом систему коммуникации взаимодействующих индивидуумов, как некую эволюцию совокупности квантовых осцилляторов, связанных друг с другом гибкой связью, мы можем в рамках данной модели получить общее решение, формально соответствующее модели Курамото для классических осцилляторов.
Ведь все отличие между двумя типами таких осцилляторов в том, что энергия классического является непрерывной величиной. Следовательно, он постоянно может излучать энергию как в пространстве, так и во времени. Убедиться в этом можно, подставив, например, свою руку на пути движения маятника часов и почувствовав от него физическое воздействие в любой точке его траектории. Квантовый же излучает энергию дискретно во времени и отдельными порциями, распространяющимися в пространстве.
Причем излучает он энергию не произвольными порциями, а кратными некоторой минимальной величине $E_{0}$ , т. е. его излучаемая энергия $E$ всегда равна величине $n E_{0}$ , где $n$ – целое число, принимающее значения от единицы и больше ( $n =1, \: 2, \: 3, \: \ldots$ ). Каждый осциллятор обладает своим собственным набором таких чисел, один, например, может иметь ( $n =4, \: 8, \: 12$ ), другой – ( $n =3, \: 6, \: 9, \: 12$ ). Полный набор чисел $n$ отображает, как принято говорить, полный спектр (полный набор порций) собственных энергий, излучаемых данным осциллятором, или полный дискретный спектр собственных частот излучения. Кроме того, разные по своей природе осцилляторы обладают, скорее всего, разными спектрами собственных частот (энергий). Поскольку $E_{0}$ является постоянной величиной, то полный набор чисел $n$ , т. е. полный спектр собственных частот излучения полностью характеризует данный квантовый осциллятор в рамках волновой математической модели квантовой теории.
Далее. В ниже рассматриваемой модели нас будут интересовать осцилляторы, представляющие собой некие структуры, состоящие из химических элементов, связанных друг с другом не иначе как химическими связями, в которых, как обычно, особую роль играют энергии валентных электронов. В частности, пусть некий химический элемент $A$ имеет два валентных электрона. Один из них участвует в химической связи с элементом $B$ , а другой – с элементом $C$ . Вполне вероятно, что с ними элемент $A$ может иметь два разных типа химической связи. Кроме того оба его валентных электрона имеют свою собственную энергию внутри атома $A$ и свой спектр собственных частот возбуждения для квантового скачка (перехода) в другой тип химической связи с тем же элементом или, возможно, к другому «партнеру» – валентному электрону того же химического элемента. Полный же спектр собственных частот возбуждения всей структуры химических элементов $A$ , $B$ и $C$ будет определяться с учетом всех возможных вариантов перестроения химических связей между ними, допускающих их существование без разрушения целостности их объединения.
В приложении к нашей теме модель, представляющая совокупности квантовых взаимодействующих осцилляторов, поможет объяснить и сущность унификации главного коммуникационного (информационно-сигнального) ресурса по ходу эволюции, т. е. в процессе совместного существования живых объектов, совместной деятельности людей, и природу, например, полной спонтанной синхронизации данного ресурса, когда значительно усиливается эффективность межсубъектной коммуникации подобно тому, как это происходит, например, в процессе мурмурации птиц. А гибкая связь в таком взаимодействии отображает изменяющуюся эффективность совместного функционирования между ними.
Рассмотрим, в частности, взаимодействие квантовых осцилляторов, отображающих коллектив представителей видов с репрезентативной моделью коммуникации. Предварительно отметим, что спектр или дискретное множество собственных частот возбуждения квантового осциллятора определяется спектром квантово-механических частот возбуждения элементов генома конкретного вида живого организма. Наиболее вероятным исходом эволюции двух таких осцилляторов, имеющих разный дискретный спектр или дискретное множество собственных частот возбуждения (т. е. осцилляторов, отображающих по сути особи двух разных видов), должно быть тривиальное решение, представляющее дискретный спектр частот, являющихся общими собственными частотами возбуждения в обоих осцилляторах. Это значит, что те частоты, которые не относятся к спектру собственных частот реципиента, будут или совсем отсекаться его органами восприятия или восприниматься, но с меньшей вероятностью. (Например, ухо человека не способно воспринимать весь спектр звуковых частот, которым обмениваются летучие мыши, чей геном определяет спектр частот, издаваемых ими сигналов. В то же время весь спектр частот, воспринимаемый ухом человека, определяется спектром квантово-механических частот возбуждения элементов его собственного генома.) На следующем этапе сложный сигнал, принятый органами восприятия, транслируется в «модуль оперативной памяти». Здесь простейшие квантованные элементы его структуры (кванты энергии) в порядке своей очередности распределяются поштучно в порядке своей очередности по элементарным ячейкам (уровням заполнения), поглощаясь ближайшей по очереди той из них, что имеет соответствующую собственную энергию возбуждения (из спектра квантованных значений), наполняя их для временного хранения в данном «модуле». Затем вступает в действие «модуль считывания», который внося «шум» последовательно считывает все ячейки «операционного модуля» и отправляет результат в «модуль интерпретации», где, анализируя его, интерпретируется содержание полученной информации. Следует отметить, что на этапе записи каждый квант энергии с большей вероятностью будет заполнять наиболее подходящую по симметрии ячейку, изменяя ее, а вовсе не обязательно очередную свободную ячейку. Другими словами, в соединении будет возбуждаться именно тот электрон, которому требуется для перестроения химической связи в точности такая порция энергии. А на этапе считывания процесс будет происходить подряд и без пропуска от первой заполненной ячейки до последней, включая и все между ними неизмененные. Поскольку спектр воспринятых сигналов из-за несоответствия последовательностей записи сигнала в память и считывания из нее наиболее вероятно не будет совпадать со всем спектром собственных частот реципиента, поэтому информация, записанная в ячейки с большой долей вероятности будет отличаться от считанной за счет объективно возникающего «шума» в последней. На заключительном этапе считанные из ячеек «памяти» кванты «облекаются» в «модуле интерпретации» в квантованные формы генома, т. е. «интерпретируются» с учетом внутренней симметрии множества квантовых состояний (симметрии полного спектра собственных частот возбуждения) элементов генома. В связи, вполне вероятно, со значительной корректировкой в «модуле интерпретации» симметрии считанных сигналов при подгонке ее к симметрии всего спектра собственных частот, принятая информация с большой долей вероятности будет интерпретирована не совсем верно. Сама по себе корректировка симметрии сигналов необходима перед передачей их к органам исполнения для корректной, т. е. в соответствии с полным спектром собственных частот возбуждения, трансляции наружу ответного сообщения. Оно в качестве обратной реакции физически, возможно при посредстве материальных агентов (молекул воздуха, например), возвращается к донору первичного сообщения. В этом случае теперь последний становится реципиентом, внутренние процессы в котором аналогичны тем, что уже были выше рассмотрены. В качестве обратной связи на этапе анализа к считанным сигналам добавляются сигналы «стимулирования» от сторонних систем реципиента. Общая эволюция таких осцилляторов оптимизируется с последовательным снижением энергетических затрат в целом на всех этапах.
Последующее продолжение во времени межсубъектной коммуникации с наименьшими энергетическими затратами и будет свидетельствовать о достижении особями унификации главного ресурса, т. е. языка их общения. В той же модели допускается и полная синхронизация взаимодействующих особей одного вида. Это достигается в том случае, когда симметрия языка общения, т. е. симметрия множества его слов, полностью совпадает с симметрией полного спектра собственных частот возбуждения элементов генома данного вида живой материи, все особи которого, как известно, имеют одинаковый геном. Данный исход и отображает возможность реализации, например, эффекта мурмурации птицами. В настоящее время представленная выше модель, в которой взаимодействия общающихся живых объектов отображается на совокупность квантовых осцилляторов, еще не подтверждена в достаточной степени ни расчетами, ни экспериментально. Хотя на качественном уровне она может пролить свет на работу реальных механизмов, участвующих в такого рода процессах, тем не менее ее следует рассматривать лишь как модель гипотетической реализации комплекса феноменов, подобных тем, что среди натуралистов в современной философии математики получили название концептуальных метафор [20]. В своей совокупности они представляют собой когнитивный механизм, под которым содержательно понимают то, что, например, сознание у человека, в частности, является телесно обустроенным феноменом в том смысле, что структуру человеческих понятий и рассуждений определяет не нечто абстрактное, а вполне конкретная природа наших тел, мозга и нашего каждодневного функционирования в мире, причем накопленный и укорененный в сенсомоторной системе каждого человека опыт способов рассуждения о конкретном, позволяет, как правило посредством него понимать и абстрактное.
В связи с изложенным на вопросы, как и почему достигается более устойчивое состояние видов в коллективном существовании особей, можно ответить следующим образом. Содержательно, это происходит за счет экономии энергии или индивидуальных усилий при установлении взаимопонимания и согласия во взаимодействии для решения общих задач и достижения общих целей. Причем, чем больше коллектив, тем меньше индивидуальных усилий «распыляется вокруг» в форме бесполезной теплоты в процессе коммуникации и тем больше энергии остается на «полезное созидание», т. е. тем больше растет эффективная мощность в разрастающихся на каждом этапе коллективах. Если говорить о людях, то это же относится и к их формам национального, религиозного, государственного и надгосударственного объединения. В расширяющихся людских коллективах уменьшению энтропии способствует более широкое распространение, кроме языковых, еще и таких унифицированных ресурсов коммуникации, как этические, культурно-исторические, религиозные, идеологические нормы и т. п., к которым, кстати сказать, необходимо относиться очень аккуратно, чтобы не получить обратного эффекта и не разогнать центробежные силы внутри соответствующих социумов, искусственно спровоцировав скачок социальной энтропии.
Несомненно, что такая форма специальной организации отдельных представителей конкретного вида живых организмов, объединившихся, как было описано выше, в единую структуру, установив предварительно с этой целью между собой некую «жесткую» связь, принципиально отличается от их свободного и хаотичного рассредоточения всего собственного ареала. Подобное, не до конца постижимое еще даже современным человеком, «форматирование» коллектива отдельных особей резко снижает энтропию данного социума и, несомненно, требует дополнительных затрат. Но насколь великих? С одной стороны они должны быть чрезвычайно высоки и непосильны каждой отдельной особи, поскольку резкое уменьшение энтропии системы сопровождается также резким выбросом теплоты в окружающее пространство. Это значит, чем больше требуется изменить энтропию, тем большая часть производимой объектами работы будет рассеиваться в пространстве в виде тепла из-за их низкого КПД особенно в начальной стадии. В то же время, поскольку явление мурмурации – это эмпирический факт, то вполне очевидно, что реально предпринимаемые затраты для достижения такой формы организации всего социума являются вполне эффективными, а значит, достаточными, и главное, посильными для каждого его отдельного члена. Следовательно, необходимо, чтобы каждый его член для осуществления такого состояния обладал, прежде всего, неким особым ресурсом, которым, согласно нашему предположению, и является специальный ресурс в сфере коммуникации. Тогда вполне естественно задаться вопросом, а нет ли здесь вследствие резонанса некоего «энергетического проседания», прямо ведущего нас по пути к выявлению специального эффекта сверхкоммуникабельности, подобно тому как в технике уже в наше время при особых условиях был открыт, например, эффект сверхтекучести или сверхпроводимости. Похоже, что с позиций имеющихся в то время знаний о подобном способе организации социума с получением при минимальных энергозатратах в окружающем пространстве «взрывного» увеличения мощности взаимодействия всей совокупности субъектов нашей цивилизации и задумались еще древние шумеры. Анализируя цепочку умозаключений, которая должна была их привести к созданию начал той системы математики, которая успешно используется нами до сих пор, они должны были сначала задуматься именно об этом, т. е. о возможности достижения людьми особого способа межсубъектной коммуникации, когда вся цивилизация смогла бы быть, например, в кратчайший срок и без излишних «проволочек» мобилизованной для действия и «в едином порыве», и строго согласованного, по крайней мере, в критически важных ситуациях. Именно для таких целей, в первую очередь, и требуется обмен информацией без «разночтений» и «сбоев», без недоразумений при ее интерпретации и последующего недопонимания, без возможности умышленного или непреднамеренного ее искажения, а, если шире, то также и без каких-либо ограничений области ее использования как в пространстве, так и во времени. То есть один язык для подобного рода коммуникации, как говорится, «на все случаи жизни» и задумали создать древние шумеры. Только такого и никак не меньшего уровня задача может оправдать создание столь сложного и в то же время столь мощного языка чисел, каким является шестидесятизначное позиционное счисление. Кроме этого анализ показывает, что подобного рода система коммуникации должна предполагать и гораздо более далеко идущие цели, т. е., уж коли задумывалось создать язык один для всего, то предлагаемая система должна позволять находить эффективное решение задач гораздо более высокого уровня. В частности, речь может идти о способе представления взаимодействия человека с окружающей средой в детерминированной форме, когда становится «предсказуемым» (в описании, т. е. в составленном алгоритме) результат воздействия, например, одного человека на другого или на иной внешний объект, если имеется описание (алгоритм) самого воздействия. Или, как было замечено выше, речь может идти, например, о способе специально-селективной эволюции человеческого генофонда; способе, при котором могут целенаправленно создаваться условия для наследования вполне определенных свойств человека и при этом напрочь исключаться случайные «сбои» при передаче информации от генома к геному за счет имеющейся возможности ее неоднозначной интерпретации, т. е. пресекаться стохастический процесс осуществления дарвиновской случайной видовой изменчивости на самом высшем уровне организации живой материи, представителем которого является человек. Вполне очевидно, что в ходе подобного рода целенаправленной эволюции процесс воспроизводства новых поколений людей должен значительно повлиять на повышение устойчивости существования нашей цивилизации среди других видов живой и неживой материи.
Но подчеркнем еще раз, всему этому должна способствовать особая система коммуникации, исключающая полисемантику, как таковую, а следовательно, и сопутствующие ей факты искажения (или «сбаивания», например, при интерпретации) передаваемой информации от источника к получателю. При этом основой данной системы по задумке шумеров и должен быть специальный язык со своими правилами «грамматики». Этим языком и стало их шестидесятизначное позиционное счисление, а «свод грамматических правил» в нем впоследствии назвали математикой.
5.Здесь хотелось бы отметить, что даже если древние шумеры в свое время и не обладали еще знаниями, на которые ссылаемся в вышеизложенной аргументации, то это нисколько не умаляет значение избранной ими концепции специальной коммуникации, а только лишний раз подтверждает выдающуюся гениальность ее разработчиков и их прозорливость. В любом случае, ответ на вышеобозначенный вопрос «зачем» будет, в конце концов, таким. Возникла необходимость (и несомненно шумеры понимали, что это именно) для повышения устойчивости существования (их) цивилизации и ускорения дальнейшего прогресса создать специальное средство коммуникации, назовем его язык «один для всего», на котором можно все описывать, все сопоставлять, соразмерять, сравнивать друг с другом без разночтений в семантике используемых слов и выражений и при совершенно однозначном и полном, т. е. бесконфликтном, взаимопонимании между членами социума по ходу обмена информацией на данном языке (за счет сведения к минимуму какого-либо «сбаивания» на нем).

2. Способ реализации концепции шумеров

Ответ на второй вопрос, почему шумеры создали счисление именно 60-значное и позиционное, потребует также подробного пояснения. Как создать язык, чтобы все люди однозначно воспринимали его слова? Как словам данного языка присвоить значения один раз и на веки вечные, т. е. без разночтений и сейчас, и для всех будущих поколений? Как создать язык, чтобы его словами можно было пользоваться для описания (сравнения, сопоставления) столь многообразных и разнородных объектов и явлений, которые встречаются и которые могут встретиться человеку в нашем мире? Задача, конечно, не простая.
Известно, что в любом естественном языке (русском, украинском, татарском и др.), возникшем сравнительно недавно или даже еще в незапамятные времена для нужд внутринационального общения, значение произвольного слова и по сей день определяется через другие слова того же языка. Иного определения его значения просто не существует. В связи с этим древние шумеры и решили создать язык, значения всех слов которого, во-первых, определялись бы не внутриязыковыми, а исключительно внешними средствами, причем внешними средствами именно в экзистенциальной форме, чтобы для выяснения значения произвольного слова языка существовала однозначная ссылка на вполне определенный внешний объект или группу таковых. Во-вторых, данные внешние средства, по их замыслу, должны обладать не произвольной природой и выбираться не случайным образом, поскольку «все течет и все меняется» в нашем мире и то, что реально существует сегодня, для последующих поколений может стать «невоспроизводимым артефактом из древних былин». А так как речь идет о создании языка для Человека, то такие средства должны существовать и не изменяться пока существует сам Человек как вид. Поэтому в качестве них должны быть задействованы феномены, свойства которых были бы каузально опосредованы характерными внутренними свойствами собственно человека. Более предметно, наличие таких свойств должно быть обусловлено «сущностной» природой самого человека отражать мир не только в форме ощущений и восприятий, что характерно и для других животных, но и с помощью своего главного интеллектуального инструмента – мышления. Причем подобного рода причинная связь должна быть установлена, если уж и не с достоверной точностью, то, по крайней мере, с максимальной степенью убедительности. Однако источником каких свойств явлений может быть собственно человек? Вероятно таких, которые наблюдаются и в практике существования иных живых организмов, а также таких, что встречаются нигде иначе, как только у человека. В связи с этим данные внешние средства, по замыслу шумеров, должны быть продуктом не рутиной, а лучше всего именно интеллектуальной деятельности человека, поскольку, кроме всего прочего, именно для данного вида деятельности язык и создается. Но не будем гадать, как они в конце концов пришли к своему решению, а для начала отметим, чем, в связи со всем вышесказанным, они воспользовались для реализации своей концепции, а обоснование правомерности такого способа реализации приведем в данной статье позже. Здесь же мы можем уверенно заявить, что в основе их решения оказался интеллектуально-экзистенциальный подход. Во-первых, они воспользовались тем, что действительно свойственно человеку и только человеку – наличием интеллекта у него. Во-вторых, для полной (т. е. однозначной) определенности слова необходима не какая-то отвлеченная идея, а требуется вполне экзистенциальный объект, «указав пальцем» на который, любой человек (и во все времена) мог пояснить, что означает именно данное слово; соответственно для множества слов требуется и множество экзистенциальных объектов. Один простой объект, который существует в природе и является при этом продуктом, прежде всего, интеллектуальной работы человека – это прямоугольный треугольник со сторонами $3$ , $4$ и $5$ , его принято называть египетским, а мы будем обозначать его так: $\Delta345$ (Рис.1). Другой – циркуль. Первый прост только по форме, но, по существу, обладает целым спектром замечательных свойств, вскрытых также в результате интеллектуальной деятельности человека.

Рис. 1 Египетский треугольник ABC.

С помощью этого треугольника (очевидно, он может быть еще и линейкой) и циркуля человек, используя еще и свой интеллект, может воспроизвести определенные процедуры и построить другие уникальные экзистенциальные объекты, находящиеся в определенных отношениях друг с другом и которые понятны каждому человеку и, кроме как человеком, более никем из живых существ не воспроизводимы. Так из двух треугольников $\Delta345$ , как известно, можно составить один прямоугольник, совместив их гипотенузы определенным способом, из восьми – прямоугольник площадью в четыре раза больше первого, из десяти – в пять раз и т. д. Этими же инструментами можно начертить окружность и провести радиус и даже не один; соединив последовательно концы радиусов, пусть их будет, например, пять, получим плоский пятиугольник (Рис.2), который имеет некоторую площадь; каждая пара соседних радиусов формирует равнобедренный треугольник, площадь которого является некоторой частью площади всего многоугольника, а все вместе пять треугольников дадут в точности площадь всего пятиугольника; та же пара соседних радиусов образует угол, величина которого представляет некоторую часть угла полного, а все вместе пять углов (т. е. между каждой из пяти возможных пар соседних радиусов) составляют в точности угол полный. Полный угол, который некоторый радиус может описать, пробежав подобно секундной стрелке всю окружность, назовем целым. Целый угол, как несложно себе представить, мы можем увеличить также, например, в четыре или пять раз, если радиус совершит соответственно четыре или пять полных оборотов.

Рис. 2 Рутинная триангуляция делит вписанный пятиугольник на пять равнобедренных треугольников.

Таким образом, мы можем данными инструментами воспроизводить прямоугольники, составленные из треугольников ∆345, и строить их графические копии, увеличивая площади прямоугольников на площадь некоторого количества $\Delta345$ , и также графически увеличивать на то же количество полные углы, которые заметает радиус.
Выберем площадь треугольника $\Delta345$ в качестве единицы площади и обозначим ее буквой « $1$ ». В этом случае можно измерять площади прямоугольников, составленных из некоторого количества таких треугольников, а их величину однозначно отображать словами, содержащими копии выбранной буквы. Если прямоугольник состоит из двух $\Delta345$ , сопоставим ему слово « $11$ », если из четырех – « $1111$ » и т. д. Все такое неограниченное множество слов и даст нам некоторый новый язык. Если в качестве единицы угла выберем полный угол, который пробегает радиус вокруг центра окружности и обозначим его другой буквой, например, символом «\», то мы сможем также измерять целые количества полных углов, которые будет заметать радиус, пробегая всю окружность оборот за оборотом, и сопоставлять им слова «\», «\\», «\\\» и т. д., которые все вместе также будут представлять еще один новый язык. Оба языка являются одинаковыми (подобными, изоморфными) примитивными, они имеют простейшую внутреннюю структуру. Причем они подобны настолько, что мы можем для измерения и площадей, и углов использовать слова одного языка даже без добавления к ним какого бы то ни было «вне языкового» ресурса, например, единиц измерения. Если кто-то скажет, что площадь равна « $1111$ » или угол равен « $1111$ », то любой человек однозначно воспримет полученную информацию и в качестве доказательства приведет способ составления данной площади из $\Delta345$ , а также способ воспроизведения данного угла. Хотелось бы заметить, что здесь для одного слова необходимо использовать два разных способа воспроизведения соответствующего количества: один – для площадей, другой – для углов.
Разобравшись с этим, перейдем к следующим свойствам инструментов шумеров. Оказывается, уникальность треугольника $\Delta345$ еще и в том, что им и циркулем можно разделить окружность на три равные части, затем каждую треть окружности разделить на четыре равные части, а затем каждую из двенадцати полученных равных дуг разделить еще на пять равных частей. В итоге полная окружность разделится точками в точности на шестьдесят равных дуг. Но это еще не все. С помощью тех же инструментов мы можем разделить любой прямой отрезок, а следовательно, и каждый катет собственно треугольника $\Delta345$ также последовательно на три равных части, затем каждую из трех частей – на четыре равные части, а потом каждую – еще на пять так, что получим деление каждого катета $\Delta345$ также, как и дуги окружности, в точности на $60$ равных частей. В результате $\Delta345$ будет разделен в точности на $3600$ одинаковых, но более мелких треугольников $\Delta345$ , которые все вместе и будут представлять площадь исходного $\Delta345$ . Заметим, что мы можем разбить все полученные мелкие треугольники на $60$ одинаковых групп, т. е. по $60$ штук в каждой группе ( $60 \cdot 60=3600$ ). Таким методом мы получим, что площадь исходного (единичного) треугольника $\Delta345$ может быть представлена $60$ -ю одинаковыми группами площадей, причем совокупная площадь треугольников в каждой группе будет ровно в $60$ раз меньше площади исходного ∆345. Заметим еще, что деление исходного (единичного) треугольника $\Delta345$ на 3600 одинаковых треугольников $\Delta345$ может быть повторено неограниченное число раз, точно также, как неограниченное число раз можно повторить и умножение его площади на то же самое число .
Подведем промежуточные итоги и посмотрим, что может получиться. Если бы деление и группирование треугольников было бы связано не с числом $60$ , а с числом $10$ , то мы бы получили возможность построить десятичное позиционное счисление. А именно, для исходного треугольника, площади которого соответствует слово « $1$ », при первом деление мы бы получили десять групп по десять треугольников в каждой. Поэтому, хотя площадь малого треугольника была бы равна « $0,01$ », т. е. была бы в $100$ раз меньше исходного, но площадь каждой группы можно было бы выразить словом « $0,1$ » ( $10\cdot 0,01=0,1$ ) и все вместе десять групп дали бы нам в точности единичную площадь исходного треугольника: $10\cdot (10 \cdot 0,01)=1$ . При последующем повторном делении мы бы получили треугольники и группы, выразимые уже словами « $0,0001$ » и « $0,001$ » соответственно и т. д. Понятно, что, если теперь не уменьшать, а увеличивать исходную площадь методом добавления, то можно получить слова « $10$ », « $100$ » и т. д. Ну и, конечно, за счет возможности добавления (удаления) соответствующих групп от слова « $1$ » можно получить слова « $2$ », « $3$ », « $4$ » и т. д., от слова « $0,1$ » – « $0,2$ », « $0,3$ » и т. п. Следовательно, подобным способом мы бы могли получить любое число десятичного счисления. Но поскольку мы все-таки графически реально (экзистенциально) делим не на $10$ , а на $60$ частей и группируем их соответствующим образом, то мы вынужденно приходим к тому, что площадь теперь уже произвольного прямоугольника может быть сколь угодно точно выражена на новом языке, в основе группы симметрии которого не число $10$ , а число $60$ и который впоследствии стали называть уже не десятичным, а шестидесятизначным позиционным счислением.
Теперь перейдем к измерению частей полного угла и, в более общем случае, к измерению произвольного угла. К сожалению, разделить окружность на $60$ равных дуг удается только один раз, повторить деление полученной дуги по аналогии с катетами треугольника еще на столько же частей не представляется возможным. Но шумеры и здесь нашли красивое решение. Разделив указанным способом окружность, можно построить правильный $60$ -угольник. Затем, проведя радиусы к вершинам, можно построить $60$ одинаковых равнобедренных треугольников , каждый из которых называется $\Delta_{1/60}$ и представляет по площади в точности $1/60$ часть площади всего многоугольника, а угол между боковыми сторонами (радиусами) каждого треугольника составляет также $1/60$ часть от угла полного. Шумеры также заметили, что чем дальше отстоят друг от друга два радиуса, тем большую часть от полного угла они заметают, и тем большую часть площади они отсекают от площади всего многоугольника. Зная, что любой равнобедренный треугольник, разрезав вдоль его высоты, можно представить в форме прямоугольника и умея измерять площади любых прямоугольников (см. выше), они приняли гипотезу, что величина угла между радиусами строго пропорциональна площади, которую они отсекают от правильного $60$ -угольника (а не от окружности, как принято у нас в современной математике). Отсюда следует, что отношение произвольного угла между двумя радиусами к полному углу в точности равно отношению той площади, которую они отсекают от правильного $60$ -угольника, к площади всего 60-угольника. Если так, то теперь за единичный угол можно принять угол между двумя сторонами (радиусами) в равнобедренном треугольнике $\Delta_{1/60}$ или, что согласно принятой гипотезе будет эквивалентным, площадь такого же треугольника $\Delta_{1/60}$ . В этом случае полный угол будет составлять или 60 таких единичных углов, как угол в вершине $\Delta_{1/60}$ , или, что согласно принятой гипотезе будет эквивалентным, $60$ таких единичных площадей, как площадь треугольника $\Delta_{1/60}$ . Поскольку дальнейшее деление площадей на $60$ равных частей мы можем повторять неограниченное число раз, то тогда измерение величины угла уже между произвольными радиусами (с любой наперед заданной точностью) можно заменить измерением отсекаемой ими площади от правильного $60$ -угольника (в единицах единичной площади равнобедренного треугольника $\Delta_{1/60}$ ), а результат измерения величины угла выражать точно теми же словами шестидесятизначного позиционного счисления и точно так же без добавления каких-либо единиц измерения или прочих вне языковых символов. Но в дополнение к этому теперь для воспроизведения соответствующих количеств и площадей прямоугольников, и углов нам необходимо и достаточно использовать только один способ верификации, заметая измеряемые объекты лишь площадями треугольников $\Delta345$ . Итак, они стали выражать как величину произвольной площади, так и величину произвольного угла словами одного и того же языка и единым методом осуществлять верификацию измеряемых величин разного сорта, используя только единичные площади $\Delta345$ . Главное в следующем. Поскольку внутренние свойства геометрической модели и только они определяют необходимые свойства языка, а в модели возможно и произвольные площади и произвольные углы заметать конечным числом треугольников, то они вынуждены были выстраивать язык так, чтобы можно было выражать как величину произвольной площади, так и величину произвольного угла словами одного и того же языка. Тогда и обратно, верификацию измеряемых величин разного сорта они осуществляли, используя только единичные площади $\Delta345$ и их масштабируемые копии.
Таким образом на поставленный выше вопрос, «почему», можно дать следующий ответ. На основании вполне определенной действующей у них философской парадигмы для реализации разрабатываемой ими концепции специального средства коммуникации ими был избран интеллектуально-экзистенциальный метод, эффективно обеспечивающий жесткие требования сохранности своей идентичности в процессе трансляции и во времени и в пространстве, по крайней мере, до тех границ, в которых существует Человечество. Избранный ими метод (в книге он называется конвенцией шумеров) объединяет и общую единую концепцию, и инструментарий, и метод отображения, выражаясь современным языком, двух принципиально различных топологий линейных многообразий.
Итак, данное счисление (язык) стало результатом построения шумерами лингвистической системы (средства коммуникации) с особыми свойствами. Мы еще вернемся к анализу вопроса почему с позиций современной науки язык «один для всего» должен иметь группу симметрии именно размерности $60$ , а пока подведем предварительные итоги.
Шумеры задались целью построить язык, слова которого имеют интерпретацию однозначную и неизменную в пространстве и времени. Выбор 60-значного позиционного счисления в качестве такого языка был сделан потому, что именно данное счисление и только оно позволяет достичь обозначенную ими цель и решить все задачи, возникающие перед ними на пути к ее достижению и потому именно данный инструментарий избран шумерами в качестве основного в задуманной ими системе коммуникации между людьми.
Конечно, мы не можем сейчас знать аргументы, которыми оперировали в свое время мыслители эпохи древних шумер, приводя последний тезис. Поэтому ниже в статье нашей задачей будет аргументированно убедить читателя в том, что все это может быть достигнуто действительно с помощью данного языка и только с его помощью.

II. Начала математики

1. Система коммуникации древних шумеров

1.1. Первичный анализ системы шумеров

Все вышеперечисленные геометрические факты шумеры использовали для построения не математики в современном понимании, как уже упоминалось, а вполне определенной экзистенциально-лингвистической конструкции с алфавитом из $60$ упорядоченных символов-букв (цифр), например, таких, которые для наших современников могут быть представлены так, как показано на Рис.3. В ней нет еще полного комплекта традиционных арифметических операций, имеются только операции добавления, удаления, операции комбинирования (сочетания, перестановки), т. е. почти такие, как, например, у нас в русском языке, при конструировании слов и фраз с манипулированием символами (буквами) алфавита.

Рис. 3 Возможный алфавит 60-значного позиционного счисления шумеров.

Единственное и весьма важное структурное отличие, дающее огромное преимущество их языку, в том, что в каждом слове пара букв, в том числе находящихся и на соседних позициях, имеет количественно строго определенную разницу в значениях. Почему количественно? Потому что каждая из $60$ различных букв алфавита обозначает ничто иное, как определенную (геометрическую) площадь, которую составляет одно из следующих целых чисел одинаковых египетских треугольников $0, \: 1, \: 2, \: \ldots, \: 20, \: \ldots, \: 59$ . Причем две соседние буквы алфавита отличаются своими значениями на одну площадь такого треугольника, так что первая и последняя отличаются ровно на $59$ таких площадей^[1]. И в итоге любая буква на каждой позиции из множества упорядоченных слева направо в слове обозначает ничто иное, как конечную (геометрическую) площадь, которую определяет расположенная на ней буква алфавита от $0$ до $59$ ^[2], т. е. площадь конечной группы треугольников $\Delta345$ . И при этом две одинаковые буквы на соседних позициях отличаются своими значениями так, что левая из них обозначает площадь, заметаемую группой $\Delta345$ , величина которой в точности в $60$ раз больше площади, которую заметает группа, соответствующая правой из них (ср. можно ли количественно сравнивать буквы русского языка?).
Причина же такого обустройства языка прежде всего в том и только в том, что он вместе со своими внутренними правилами построения и преобразования собственных слов сформировался в результате отображения геометрической модели со всеми ее специфическими внутренними свойствами. В ней площади прямоугольных геометрических форм могут перекрываться дискретной совокупностью одинаковых площадей египетских треугольников как с избытком, так и с недостатком. Поскольку в такой совокупности всегда может существовать только дискретное количество площадей египетских треугольников, то и исходную площадь прямоугольной формы всегда можно заместить этим дискретным и конечным числом таких треугольников, причем с любой заданной точностью соответствия всей совокупности замещающих площадей площадям замещающим. В частности, в выбранной шумерами для построения языка геометрической модели возможно наглядно-демонстрационным способом выделить ряд процедур, классифицируя их, как:
— геометрические операции, позволяющие добавлять и удалять целые объекты $\Delta345$ , т. е. дискретно изменять заметаемую ими площадь на некоторое количество площадей $\Delta345$ ;
— операции геометрического деления (т. е. графического «дробления») полного угла и отрезка (катетов $\Delta345$ ) на 60 равных частей, т. е. уменьшения их в $60$ раз, а площадей – в $60 \times 60= 3600$ раз;
— операции геометрического увеличения (методом сочетания отдельных объектов в единую группу) полного угла и отрезка, а следовательно, и любого катета $\Delta345$ , также в $60$ раз (площадей – в $3600$ раз).
Кроме этого, в геометрической модели данной системы все вышеуказанные операции графического деления и умножения объектов с помощью тех же инструментов могут потенциально осуществляться неограниченное число раз. Причем определенные комбинации приведенных видов операций допускают уменьшение и увеличение площадей, заметаемых объектами $\Delta345$ так, что становится возможным выделение их частей или групп, изменяющихся тоже в $60$ раз как в ту, так и в другую сторону.
А поскольку их цель была – построить вербальную модель, адекватно соответствующую модели геометрической (чтобы, поясняя значение слова или операции с ним, было на что «показывать пальцем»), то и языковая конструкция по своей внутренней структуре и набору правил оперирования буквами должна однозначно отображать геометрические средства исходной модели, одним из которых является возможность неограниченного вложения геометрических объектов (т. е. методом группирования или площадей, или углов из малых групп в большие) по принципу «русской матрешки», притом что в двух соседних уровнях находятся такие, что больший из них в точности равен 60-ти меньшим. Именно поэтому построенный ими язык (счисление) таков, что любое его слово может быть представлено конечным количеством букв, которые строго упорядочены по месту своего расположения в слове слева направо, а именно на каждой позиции внутри слова буква имеет определенный «вес», так что две одинаковые соседние отличаются по своему «весу» друг от друга ровно в $60$ раз, а начальный (нулевой) «вес» определяется для первой буквы слева от запятой или, если запятая отсутствует в слове, то для крайней правой буквы. А поскольку язык строился так, чтобы его возможности в точности соответствовали возможностям его геометрического прообраза, потому свойство позиционности языка шумеров является следствием только специфики геометрической модели и ничего иного.
Следуя правилу, чтобы вербальные возможности в точности (по своему подобию) соответствовали возможностям геометрическим, они пришли к тому, что некоторые свойства языка, построенного шумерами, являются просто уникальными для лингвистики. Достаточно сказать, что в нем каждое слово имеет не только неповторимую форму (синтаксис), но при этом еще и неповторимое значение (семантику), чего они и добивались, а это является уже весьма существенным отличием их языка от любого другого классического. Кроме этого не менее оригинальной и весьма эффективной является процедура сравнения произвольной пары слов друг с другом, поскольку их различие всегда однозначно можно представлять в виде слова того же самого языка. Также однозначно в виде слова того же самого языка можно представлять представлять и их сочетание, т. е. их сумму. Ну и, самое главное, благодаря однозначной интерпретации каждой буквы на любой позиции внутри слова и конечности каждого слова, а также благодаря специальным правилам оперирования словами и буквами в слове, в языке шумеров действительно допускается сохранение биективности (однозначности, совершенно исключающей «сбаивания») и в процессе отображения, и в процессе преобразования информации, а также при ее трансляции, начиная от ее источника и вплоть до ее получателя.
Попутно можно объяснить почему в языке шумеров появился ноль, хотя, например, в русском, как и в любом другом естественном языке, нет незначащих букв. Дело в том, что они были вынуждены ввести его, причем ввести перед единицей, а не после $59$ . Такая необходимость возникла у них в связи с поставленной целью создать «один для всего» язык. Еще раз отметим. Поскольку геометрическая модель предоставляла возможность и площади прямоугольников, и углы между двумя лучами измерять треугольниками, потому потребовалось и язык сконструировать так, чтобы его стало возможным использовать для обозначения и учета как углов внутри окружности, так и прямоугольников на обычной плоскости. Возникающая при этом проблема в том, что здесь мы (как и шумеры в свое время) сталкиваемся с моделями двух различных типов топологий, которые наглядно иллюстрируют костяшки домино, поставленные «на попа» близко друг за другом. В одном случае они располагаются вдоль окружности, а в другом – вдоль прямой линии. В первой цепочке, замкнутой, можно уронить все сразу костяшки, качнув в одном из двух направлений любую из них. Во втором, тот же эффект можно получить, если качнуть только одну из двух крайних и только в определенном направлении, т. е. в направлении всех остальных в цепочке (незамкнутой). С точки зрения математики в этих моделях результат индукции (или совокупности индукционных переходов) зависит от выбора ее базы (начального элемента) и, возможно, направления. В геометрической модели, когда выстраиваем прямоугольники на прямой линии друг за другом, они образуют незамкнутую цепочку. В этом случае легко предъявить язык, слова которого также составляются из букв в незамкнутую цепочку без какого-либо нуля (незначащей буквы). Такова структура слов, например, нашего языка: каждое слово – это незамкнутая цепочка букв. То есть топология структуры слов русского языка является сама по себе топологией второго типа. Внутри окружности же «целые» совокупности объектов (углы, дуги) представляют собой уже замкнутые цепочки. Как подробно описано в книге [4], для цепочек такой топологии, т. е. топологии первого типа, тот же язык использовать невозможно. Содержательно это связано с тем, что в структуре с топологией второго типа индукционный переход от начальной точки к конечной или от конечной к начальной всегда охватывает полный путь, заметаемый всеми элементами данной структуры. В структуре же с топологией первого типа подобный индукционный переход неоднозначен. А именно, он может также охватывать полный путь, заметаемый всеми элементами данной структуры, а может означать «стояние на месте» в силу совпадения начальной и конечной точек и равновозможности выбора направления индукционных переходов. Для решения данной проблемы при создании единого языка как для однозначного описания любого количества прямоугольных объектов, выстроенных в незамкнутую линию, так и для однозначного описания любого количества углов внутри замкнутой цепочки таковых, шумеры вынуждены были ввести пустой (ничего не значащий) элемент – ноль и пустую (ничего определенно не значащую) операцию, которую можно, например, использовать при необходимости в качестве операции выбора (начальной точки отсчета углов правильного многоугольника) или в качестве любой иной операции, не меняющей значения элементов, для достижения каких-либо других целей. Трудно сказать, кто первым и когда ввел символ пустого элемента, потому что на некоторых более старых клинописных табличках для его обозначения шумерами использовался просто пробел. Однако необходимость его появления в языке шумеров совершенно очевидна из вышеприведенного объяснения, хотя и не обусловлена никакими потребностями лингвистики классической.
Возвращаясь к общему анализу системы шумеров и опираясь на знания современной математики, можно сказать, что да, они в то же время построили и некую алгебру. Но созданная ими алгебра – это алгебра не только для целых чисел и не только с аддитивными операциями. В языке шумеров запятая служит не более как маркером. Поскольку каждое слово языка содержит целое конечное количество букв, и никак иначе, то положение запятой в таком слове у шумеров означает только то, что первый слева от нее разряд указывает на площадь единичного масштаба, а все остальные разряды слова будут соответствовать масштабам площадей, пересчитанным относительного этого, избранного за единичный. Поэтому, если им требовалось в качестве единичного выбрать иной масштаб (из этого же ряда), они просто передвигали запятую в слове на соответствующую позицию. Именно такая свобода манипулирования положением запятой была изначально заложена в их языке, что алгебраически эквивалентно существованию двух не аддитивных операций: возможности неограниченного повторения как арифметического деления, так и арифметического умножения слова не на любое число, а только на число $60$ . И именно из-за наличия двух последних арифметических операций нельзя сказать, что получилась в точности аддитивная алгебра, а из-за возможности (при соответствующем выборе масштаба единичной площади) взаимного обращения формы записи – из целой в дробную и обратно – нельзя утверждать, что носителем данной алгебры являются только целые числа. Однако также совершенно точно можно утверждать, что множество этих чисел будет отличным от множества современных рациональных чисел и, тем более, от множества иррациональных, поскольку шумеры создавали свой язык именно для того, чтобы конечными словами, подобно словам обычного языка, и без включения каких-либо «вне языковых» средств можно было описывать все вокруг и при этом исключить какие бы то ни было разночтение и недопонимание.
Подводя итог первичному анализу системы шумеров, отметим, что
— они построили язык, позволяющий сохранять информацию без искажения, начиная от источника и вплоть до получателя, в процессе ее
формирования(поскольку метод ее получения является, прежде всего, экзистенциальным),
обработки (поскольку все допустимые операции грамматики оставляют конечную информацию конечной же),
трансляции (в силу еще и интеллектуальной ориентированности метода ее формирования, который эффективен для всех людей и всех поколений человеческих) и
интерпретации (в силу однозначности слов);
— грамматику языка впоследствии стали называть математикой;
— структура языка шумеров и правила его грамматики по своим возможностям и средствам обусловлены не иначе как только возможностями и средствами геометрии, поэтому с точки зрения математики система шумеров – это цельная алгебро-геометрическая структура.

1.2. Начальные уроки логики древних

Многие поколения исследователей истории математики с сожалением отмечают отсутствие каких бы то ни было теоретических работ в данной области даже от Пифагора и его ближайших последователей, не говоря уже от математиков более далеких поколений. Не скрывают они удивления и от того, что среди тысяч и тысяч найденных клинописных глиняных табличек можно найти все, что угодно, даже выполнение уроков учениками, изучающими математику, но нигде не приводится, хотя бы частично, описание теории построения системы. Да и немудрено. В отличие от чудо-свойств информативности собственно языка шумеров, перечисленных в конце предыдущего параграфа, свойства того естественного (национального) языка, на котором приходилось излагать достоинства их системы совершенно иные, и частично мы уже касались этого вопроса в самом начале статьи. Информация на естественном языке может искажаться на любом этапе из вышеперечисленных. И даже при искреннем желании противодействовать этому непреднамеренное искажение может происходить хотя бы просто в силу свойств полисемантичности языковых квантов, в частности слов, изначально возникавших, как уже отмечалось, практически стихийно и с характерной для них условностью или конвенциональностью языковой репрезентации в различных пространственно-временных границах. Кроме того сохранение информации в форме естественного языка на промежуточных («не живых») носителях намного усложняет последующий процесс ее интерпретации и восприятия (адекватного именно тому, чего хотел бы достичь ее источник) потребителем в силу статичности процесса ее усвоения заочным методом без динамики с обратной связью. Несмотря на указанный недостаток, имеется, по крайней мере, одно вполне очевидное преимущество трансляции информации данным способом. А именно, он является наиболее эффективным по возможности количественного охвата аудитории с учетом, в том числе, и сменяемости поколений в этой самой «аудитории». Тем не менее, не считая древних греков, это уже только наша цивилизация, начиная где-то со средних веков, стала активно осваивать различные способы сохранения (именно научной) информации на промежуточных носителях (рукописных, печатных). А в те далекие времена шумеры и в данной ситуации выбрали свой собственный и весьма оригинальный и очень эффективный путь. Они снова воспользовались комбинированным экзистенциально-интеллектуальным методом, но теперь уже в процессе работы с передачей информации о своей системе и о способе ее реализации. Если говорить более содержательно с точки зрения методологической, то для сохранения передаваемой информации об этом без искажения, начиная от источника и вплоть до получателя, в процессе ее формирования, обработки, трансляции и интерпретации они использовали наглядно-демонстрационный метод в комбинации с сопутствующими комментариями на естественном языке, что обеспечивало в достаточной мере (в совокупности с наличием эффективной «обратной связи») и необходимую динамику отдельных приемов внутри данного процесса. . Похоже, что, например, у шумеров именно в связи с этим на табличках фиксировалась только статичная информация, массивы данных – результаты произведенных замеров, решения задач и т. п. Для объяснения же аудитории студентов научного материала учитель вместо доски использовал большую песочницу, в которой производил геометрические построения, и наборы камушков или палочек, с помощью которых последовательно и наглядно демонстрировал операции добавления, удаления, комбинирования, деления и умножения с поразрядным переносом запятой и т. д. С одной стороны данный метод обладает явным недостатком, так как в процессе обучения требуется очное участие учителя и ученика и совершенно исключается передача знаний заочно в силу специфики наглядной аргументации, что, кстати, в значительной мере объясняет почему мы не находим нигде теоретические рукописные опусы древних по математике. С другой – анализ показал, что он в сравнении с любым другим способом не наглядно-демонстрационного характера, несомненно, обладает значительным когнитивным превосходством и что, например, замена его современным вербальным методом приводит по нескольким причинам к утрате убедительности и строгости при доказательстве математических выводов.
Вот, в частности, причина первая. У математиков прошлого эти камушки исполняли по очереди две разные «ролевые функции» или, выражаясь современным языком, исполняли по очереди роли двух типов объектов-переменных, которые могли принимать операции и отношения, определенные в каждой из изоморфных (т. е. совершенно разных, но как бы подобных друг другу) алгебр – отображений. Сначала они использовали их в алгебре геометрической модели в качестве одного типа переменных – конструктивных геометрических объектов-элементов. Объясняя возможные комбинации с геометрическими объектами (отрезками, треугольниками, прямоугольниками), их допустимые объединения в группы, их удаления или добавления, они демонстрировали это наглядно, выполняя все оговариваемые комбинации непосредственно с камушками так, что результат преобразования таких групп камушков был вполне очевиден в буквальном смысле и не вызывал никаких сомнений в реальной осуществимости обсуждаемых операций без возникновения каких бы то ни было противоречий. Затем, те же самые камушки уже в вербальной алгебре (т. е. уже в алгебре на множестве слов-чисел) использовались в качестве другого типа переменных – конструктивных символьных элементов (единиц или групп этих единиц, т. е. букв языка или, по-другому, цифр), чтобы наглядно продемонстрировать, что в точности все те же самые комбинации должны быть и могут быть непротиворечиво исполнены уже и с элементами языка (словами), если данный язык выстраивать по вполне определенным правилам и никак иначе. Еще раз отметим, что обе алгебры у древних излагались наглядно-демонстрационным способом. Камушки позволяли древним не только объяснить содержание отображения шумеров, но и верифицировать любое арифметическое выражение или его результат (исполняемым или полученным уже на множестве слов-чисел) на предмет соответствия аналогичным манипуляциям (таким преобразованиям как перестановки, сочетания, добавления, удаления и пр.) с геометрическими объектами.
Только в самом конце XX в., столкнувшись с необходимостью реализации на вычислительных устройствах действительно (реально) работающих некоего сорта алгоритмов, математики вынуждено пришли к необходимости ввести такой инструмент, как полиморфизм. По существующему определению, полиморфизмом называют свойство функций (программных объектов) обрабатывать переменные разных типов. Фактически он является своего рода вербальным заменителем (или альтернативой) камушков наглядного метода аргументирования древних, убеждающим прежде всего собственно программиста в том, что сопоставляемые с данным объектом процедуры будут гарантированно не противоречивыми, а потому смогут быть исполнены на компьютере для каждого из объединяемых типов переменных. При этом возможность решения подобного рода задач без такого инструмента два последних тысячелетия не вызывала никаких сомнений, а потому вообще не обсуждалась. В подобных случаях считалось совершенно убедительным и вполне достаточным построение, например, только двух изоморфных математических структур (алгебр). Однако опыт, по крайней мере, современного программирования убеждает, что этого действительно недостаточно, и возникает необходимость введения дополнительного механизма, компенсирующего непреднамеренно утраченный элемент аргументации, когда человек переходит от наглядно-демонстрационного метода к вербальному. Содержательно, требуется строить не просто две изоморфные (разные, но в некотором смысле подобные) структуры, когда в каждой из них всегда будет оставаться своя собственная (индивидуальная) степень свободы быть модифицированной тем иди другим способом, а необходимо строить одну бинарную структуру, оставляя только возможность трансформации всего ее целого и категорически пресекая возможность трансформации только одной ее составляющей относительно другой, сохраняя последнюю неизменной.
В книге [4] автору пришлось несколько модифицировать существующее определение. Во-первых, при наличии двух разных объектов процесс их объединения (отображения) в один полиморфный объект, в объект, имеющий единую, но бинарную, структуру (подобно монетке, всегда имеющей и «орла», и «решку»), назван гомоморфным преобразованием двух гомоморфизмов в один полиморфный объект. Во-вторых, обратное преобразование одного полиморфного объекта в два гомоморфных определено как полиморфное. В связи с последним определением только функции (программные объекты), которые способны осуществлять именно такое преобразование имеют возможность обрабатывать переменные разных (в данном случае именно двух) типов. Поэтому авторское определение полиморфизма фактически не отрицает, а только модифицирует существующее определение. В-третьих, полиморфизм, по своей сути, является следующим уровнем абстрактного обобщения такого понятия, как «переменная» или «переменный параметр» в алгебраических выражениях, если под разными типами понимать разные значения, которая может принимать переменная, в духе «модернизированной» теории типов Уайтхеда-Рассела. Действительно, с одной стороны, все (возможно, конечное, или счетное, или бесконечное) множество (например, целых или действительных) значений переменной отображается в алгебраическом выражении одним символом $x$ . С другой, результат вычисления (если это возможно) данной переменной $x$ из алгебраического выражения приводит к вполне определенному значению, а данное значение, будучи в полном согласии с однозначным расположением соответствующей точки на координатной оси, приводит как к восстановлению всего множества значений данной переменной (например, целое, рациональное и т.д.), так и к установлению его собственного точного места внутри данного множества. К сожалению, из-за отсутствия уже устоявшихся терминов в этой части преобразований (отображений) нередко термины «полиморфный» и «полиморфизм» автором используются как синонимы и по отношению к соответствующему преобразованию, и по отношению к соответствующему объекту. Аналогично, это же относится и к паре терминов «гомоморфный» и «гомоморфизм» в приложении к соответствующим преобразованиям и объектам.
Вторую причину, которая также приводит к утрате убедительности и строгости в доказательствах математических выводов при замене наглядно-демонстрационного метода вербальным, можно обозначить следующим образом: отсутствие визуальной возможности верифицировать непротиворечивость излагаемого материала. Как бороться с этим? Предложенная схема последовательного расширения (языка) математики шумеров излагается в книге с привлечением символов в качестве вспомогательного (подручного) средства для обозначения тех или иных объектов, процедур, отношений, структур, алгоритмов и т. п., т. е. для большей убедительности изложения сопровождается формальной иллюстрацией. Фактически в книге приводится некоторая разновидность все того же формализма, который устойчиво прижился в современной математической литературе. И это немудрено, поскольку иного столь удобного инструментария с точки зрения наглядности при изложении современным способом, т. е. вербальным в отличие от древнего наглядно-демонстрационного, просто не существует. При современном способе трансляции информации от источника к потребителю необходимо учитывать не только очный, но и заочный путь ее передачи, о чем уже говорилось выше, т. е. передачи через посредничество какого-либо материального объекта (носителя и не обязательно «живого»), на который транслируемая информация отображается с последующей передачей уже потребителю в статичном, а не динамичном виде. И формализм в данном случае является удобным инструментом в процессе симметризации этих двух взаимоисключающих вариантов передачи информации. Его использование позволяет не всегда, но лишь в некоторых случаях, не только «пересказать», но и, в некотором смысле, «показать», т. е. наглядно «продемонстрировать», непротиворечивость цепочки последовательных рассуждений цепочкой изменяющихся символов. Кстати говоря, счисление шумеров и счисление Пифагора – это тоже продукты формализации соответствующих геометрических моделей.
Без преувеличения можно сказать, что формализм – это инструмент, который делает вербальный способ изложения не только более удобным по форме, но и по содержанию более близким к древнему демонстрационному, поскольку позволяет в подавляющем большинстве случаев обеспечить необходимую «наглядного характера» строгость в последовательности приводимых рассуждений. В связи с этим элементы теории множеств в сочетании с подобного рода формализмом, который, несомненно, еще очень далек от уровня современной логической строгости (но который непременно должен быть доведен до этого уровня в будущем), были определены в качестве, по крайней мере, необходимого элемента, универсальной (полиморфной) логической среды (или оболочки) изложения, одной из составных частей предлагаемого в книге общего метода построения единой конструкции всей математики.
Здесь вполне уместно отметить вклад древних греков, которые первыми затеяли смену метода передачи информации научного характера от человека к человеку. Пытаясь перейти от комбинации наглядно-демонстрационного метода с вербальным к одному только вербальному, они, возможно, не вполне осознанно, вынуждены были в неявном виде включить в качестве обязательного атрибута в новый метод изложения материала «существование одинаковой интуиции» у излагающего и воспринимающего. Это была необходимая «дань», компенсирующая невосполнимую утрату убедительной наглядности бинарных подручных средств при верификации излагаемого материала. Подобный стиль отчетливо наблюдается, например, практически во всех сочинениях Платона. Прежде, чем перейти к очередному этапу обсуждения вопроса, Платон настраивает в них слушателя словно «радиоприемник на нужную волну», выясняя так ли он понимает обсуждаемую проблему (или объект), рассматривая ее с разных сторон и задавая наводящие вопросы, будто производя каждый раз «тонкую настройку интуиции» слушателя, чтобы убедиться в наличии взаимопонимания с ним. В том же стиле продолжали и Аристотель, и Евклид и др. Его можно назвать специфически древнегреческим. Лишь только на рубеже XIX – XX вв., явно осознав вдруг отсутствие убедительности и строгости в своей науке, математики впервые заговорили о необходимости исключения при изложении материала такого фактора, как интуиция человека. Именно в связи с этим и стали появляться различные современные математические школы: конструктивизм, формализм, абстракционизм и пр. Но все они искали, условно говоря, «там, где было светло, а не там, где было утрачено», поэтому причин наступившего кризиса не вскрыли. А недостаток информации, как хорошо известно, приводит к неправильным выводам. Да к тому же, не поняв коренных причин, теоретик в подобной ситуации уподобляется слепцу, ищущему правильную дорогу. Поэтому немудрено, что ни одна из этих школ не смогла справиться с возникшим кризисом. Но, как говорят в таких случаях, не было бы счастья, да несчастье помогло. Каждая из них, несмотря на неудачу в достижении изначально поставленной перед собой главной цели, привнесла в науку много нового и полезного и действительно обогатила ее.
Уроки логики древних, которые можно почерпнуть, анализируя дошедшие до нас их методы аргументации, еще не исчерпываются вышеизложенным. Однако и уже представленного достаточно, чтобы при изложении материала в книге использовались некоторые дополнительные и необычные на первый взгляд инструменты наряду с уже привычными в наше время, что связано, как это было сказано выше, с необходимостью выстраивания вербальным способом логически непротиворечивых алгебро-геометрических структур не менее убедительно, чем это было у древних.
Для начала приведем схему, подлежащую реализации. Схематически мы должны построить две самостоятельные алгебры: одну – для геометрических объектов, другую – для букв, а затем ресурсы обеих попарно сделать «подобными». Строя две самостоятельные алгебры, мы с наибольшей вероятностью получим у них ресурсы, которые не будут попарно «подобными» или не все будут попарно «подобными». Поскольку заданным в нашей задаче является геометрическая модель, а условия задачи менять нельзя, то для приведения всех ресурсов к попарному «подобию», необходимо изменять только вторую алгебру. Следуя данному алгоритму и меняя алгебру для буквенных символов, мы, в конце концов, получим две алгебры, в которых все ресурсы станут попарно «подобными». Это и будет условием завершения процесса (алгоритма) построения двух изоморфных алгебр требуемого нам качества.
Вот как это все реализовано в Приложении. Для изложения единой бинарной структуры современными вербальными средствами мы сначала строим вербально метаалгебру Η, отображая в нее объекты геометрической модели, а также отношения и операции с ними. Отображение строится следующим образом. Выделив в модели геометрические объекты, подлежащие отображению в данную алгебру, мы кодируем их некими символами, выбранными произвольным способом. В итоге для всего множества геометрических объектов выстраиваем отображение в форме множества слов, состоящих из символов, кодирующих объекты исходной модели. Данное множество слов (не будучи собственно счислением) и является главным и единственным носителем метаалгебры Η. Кроме носителя данная метаалгебра, должна содержать также и обсуждаемые отношения и операции над его элементами. Все они, как и положено при современном (вербальном) способе изложения, представлены соответствующими нашему времени кодировками. Все построенное, будучи как бы изложением геометрической модели в «вербальной» форме (а другой формы мы не знаем), является отображением, адекватным ей (т. е. адекватным геометрической модели) и только ей. Затем уже для построенной метаалгебры Η строим также вербальным способом отображение в другую алгебру, которую назвали вербальной алгеброй Ε. Главным и единственным носителем ее будет уже конечный язык (счисление, например, шумеров), т. е. множество слов с совокупностью правил словообразования и манипулирования данными словами. Собственно говоря, алгебру Ε и назвали вербальной поскольку она представляет собой совокупность именно таких правил при том, что ее носителем является совокупность слов искомого языка. Таким образом, при современном способе изложения мы используем две алгебры: метаалгебру Η и вербальную Ε.
На следующем этапе для достижения единства и целости выстраиваемой алгебро-геометрической структуры, мы используем для вящей убедительности вместо камушков древних специальные объекты – полиморфизмы, т. е. заменяем камушки древних их биективным отображением в полиморфные дуальные объекты. Назовем полученную алгебро-геометрическую структуру в форме единой (объединенной) алгебры, т. е. и метаалгебру Η, и алгебру Ε, математикой. Она будет состоять также из носителей, операций, отношений и т. п. Но, содержательно, носителем математики будет уже полиморфный упорядоченный дуальный объект, включающий в себя на первом месте носитель вербальной алгебры Ε, на втором – носитель метаалгебры Η. Также в единой математике полиморфными объектами будет и каждая операция, каждое отношение и т. д.; при этом каждый полиморфизм будет построен и упорядочен аналогично вышеприведенному примеру с носителем.
Все это, наряду с привлечением и собственных внутриструктурных специальных формальных (или конструктивных) ресурсов, предстает попыткой построить вербальную систему последующей аргументации (доказательства), как уже говорилось, не менее убедительной, нежели она была у древних.
В качестве резюме отметим, что для поддержания логической строгости в вербальном способе изложения, по возможности максимально близкой к уровню древних, автор в своей книге придерживается следующих правил.
Все ресурсы метаалгебры Η , т. е. алгебры, отображающей непосредственно геометрическую модель, определяются только возможностями объектов данной геометрической модели и больше ничем. Алгебра Ε является отображением уже метаалгебры Η и только метаалгебры Η. Чтобы добиться условия, когда «алгебра Ε отображает метаалгебру Η и только метаалгебру Η», каждый ресурс из метаалгебры Ε «жестко» связывается попарно с соответствующим ресурсом из алгебры Η в единый полиморфный объект и все это в явном виде «визуализируется» с использованием элементов формализма.
А теперь после изложенного в этом параграфе материала о логике древних шумеров нам следует вернуться на время к обсуждению их главного замысла, рассматривая их идею не в разного сорта второстепенных ракурсах, используемых для изложения материала в форме, максимально приближенной к современной, а непосредственно в ракурсе «фронтальном», можно сказать, «в лоб». Как было сказано выше, объекты геометрической модели, отношения между ними, операции с ними и пр. демонстрируются с помощью камушек. Это первое и главное. А уже потом второе – результат такого согласования геометрических феноменов с феноменами экзистенциальными (камушками) должен излагаться (записываться, отображаться) в символьной форме. Так должна выстраиваться алгебра, которая названа геометрической (или метаалгеброй), и это было оговорено и в данной работе, и в предыдущих, посвященных обсуждаемой теме. И, в конце концов, только затем эти же самые камушки и способы манипулирования с ними отображались в счисление и алгебру вербальную. Было предложено считать, что так якобы задумали еще шумеры, задавшись целью построить уникальный «рукотворный» язык «на все времена» для нашей цивилизации. Но во «фронтальном» ракурсе все выглядит иначе, хотя технически ничего не изменится. Ведь на первом этапе, согласовывая объекты геометрической модели с моделью объектов экзистенциальных (палочками или камушками) в данной работе предлагается создание между ними биективного отображения, считая первые объекты прообразами, а вторые – образами искомого отображения, не так ли? Но в биективном отображении образы и прообразы без каких-либо последствий можно поменять местами. Если так сделать, то тогда получается, что язык шумеров строится не в результате создания двух последовательных отображений одних объектов на вторые, а затем вторых на третьи, а одновременно в форме двух разных видов отображения одних и тех же камушков. Таким образом, непосредственно по замыслу шумеров, скорее всего, создание искомого языка, конечно, задумывалось на базе отображения именно экзистенциальных объектов, которые и только которые могут адекватно моделировать объекты окружающей Человека среды. Поскольку для описания именно ее феноменов и задумывался шумерами данный язык. Однако на базе произвольно взятого множества экзистенциальных объектов если и возможно построить счисление, то заявленных шумерами целей точно не будет достигнуто. Хотя бы в силу того, что и сами по себе эти экзистенциальные объекты (камушки) являются преходящими феноменами, и способы манипулирования и отношения между ними также ничем не гарантируются от изменений в пространстве и времени (в разных культурах и разных поколениях). А вот если в качестве способа стабилизации экзистенциальных объектов, а также операций и отношений между ними во времени и пространстве использовать такие непреходящие для нашей цивилизации инструменты, как циркуль и египетский треугольник, и получаемые с их помощью окружности и многоугольники, то задуманная ими цель в точности достигается именно с построением языка, получившего название шестидесятизначного позиционного счисления.
В итоге в результате применения шумерами такого метода построения

собственно система изначально не формулируется в форме вербальных аксиом (как у Аристотеля), а представлена «моделью Вселенной» в виде конечной совокупности отдельных и конечных в пространстве объектов-прообразов (камушков), причем совокупности, имеющей возможность количественно пополняться (изменяться) без каких-либо ограничительных условий;
отображение же этой системы («модели Вселенной») осуществляется различными способами на две различные модели, две различные совокупности объектов-образов с соответствующими образами операций и отношений; одна из моделей является геометрической, а другая – лингвистической (собственно алгебраической);
в качестве гаранта стабильности всей их (комплексной) системы выступает именно модель геометрическая, получаемая с помощью опять-таки экзистенциальных инструментов, но не рядовых, а таких (экзистенциальных объектов), которые обладают непреходящим для Человечества свойством порождения уже графических объектов, стабильно воспроизводимых с любой заранее заданной точностью любым человеком в различных пространственно-временных координатах.

Таким образом, содержательно, эта система начинается, во-первых, не с вербальных дефиниций, а с демонстрации экзистенциальных объектов, явлений, процедур, отношений и т. д. А, во-вторых, здесь не происходит многократная процедура перекодирования (отображения, перевода) одной системы во вторую, а затем второй системы в третью, третьей в четвертую и т. д. В силу этого здесь в принципе не может быть использована система кодирования вербальных дефиниций (ввиду их отсутствия) и вербальных же формальных выводов с помощью самого счисления и последующей повторной перекодировки полученного кода вновь на то же самое счисление. Негативный результат в оценке современных формальных систем, основанных на вербальных фундаментальных дефинициях с последующим многократно повторяющимся кодированием и перекодированием этих фундаментальных дефиниций и выводимых из них теорем (т. е. метаматематических высказываний о самой системе), был приведен еще Геделем почти столетие назад [19, 14]. Но к системе шумеров его теоремы не применимы в принципе, поскольку шумеры, можно сказать, заблаговременно создали «искусственный офсайд» для Геделя с его идеями и подобным им.
Другими словами, построение своей системы шумеры начали не с вербальных аксиом, т. е. способом, альтернативным современному, наследованному еще от Аристотеля. Для создания средства описания феноменов Вселенной они прибегли с самых первых шагов к модели Вселенной, реализованной в виде совокупности отдельных экзистенциальных объектов, имеющих свойство находиться друг с другом в различных отношениях, отдельные элементы из необозримо широкого спектра которых (отношений) могут быть доступными для восприятия и воспроизведения различными формами (видами) живой материи. На втором этапе они привлекли специальные инструменты, с помощью которых только представитель одного вида живой материи, Человек, способен воспроизводить экзистенциальные объекты, которые имеют свойство находиться друг с другом в уже весьма узком спектре различных отношений, причем отношений с совершенно статическими свойствами. Если на первом этапе были использованы экзистенциальные объекты наиболее общего характера, то на втором – весьма специфичные, характерные исключительно для представителей только рода человеческого.
Немаловажно и то, что теория построения системы шумеров начинается с экзистенциальных феноменов, т. е. с феноменов, постигаемых с самого рождения каждым человеком своими собственными органами чувств и зафиксированными в его памяти, как результат им накопленного и накапливаемого опыта в процессе всей его жизни – и в процессе непосредственного взаимодействия с окружающей средой, и в процессе обучения. Ну а в качестве сопутствующего замечания можно привести следующее. Если отвлечься от всякого рода конспирологических теорий происхождения шумеров и источников их образованности, то будучи вполне достоверно известными как мастера всяческих ремесел, а каждое ремесло заключается в воспроизведении постигнутом опытом преобразований экзистенциальных свойств\форм экзистенциальных объектов\материалов\процессов в формы\свойства также экзистенциальные, они и ремесло человеческих рассуждений, логику, должны были воссоздать на базе именно опыта человеческого, как на основе внутренних человеческих свойств, определяемых свойствами его собственного внутреннего строения.
Поэтому приобщим к теории построения системы шумеров одну весьма важную гипотезу. Определим ее так: логика, как система правильного рассуждения, формируется (и определяется) ничем иным, как только обобщенным опытом человека в постижении окружающей среды. В противоположность Аристотелю, шумеры, скорее всего, не воспринимали логику как свод догматических законов для их безграничного применения, но только как гибкую систему правил корректного рассуждения об экзистенциально существующем для них и не более того, т. е. не выходя за рамки бытия и не включая существующее «в головах». Это вполне согласуется, например, с критикой закона исключенного третьего одним из основателей интуиционизма в математике Брауэром. Он, как известно, уже в новое время впервые отметил невозможность применения данного правила к элементам актуально бесконечного множества, а именно подобные множества выходят как раз за рамки экзистенциальных и находят свое существование только «в головах» людей.

2. Система шумеров – фундамент теории математики

2.1. Предпосылки для расширения математики шумеров

Красивая конструкция получилась у шумеров, не правда ли?
Ну хорошо, могут спросить некоторые, а как она связана с нашим оптимизмом, что искомые начала современной математики, наконец-то, открыты? Уж больно далеко от ресурсов математики шумеров, возразят они, отстоит математика современная хотя бы со своими дифференциально-интегральными операциями и множествами иррациональных чисел. На подобного рода реплики можно ответить так. Ну, во-первых, начала математики, в том числе и современной, не открыты. В данной книге лишь приведено то, что уже давно было сделано и, по-видимому, не единожды исследователями разных поколений и что каждый раз со временем снова и снова сначала отходило постепенно с передней линии науки в ее глубокие запасники, а затем и вовсе, как у Гамлета, «пропала связь времен» и оно было предано забвению в силу различных причин; в основном, в силу недостаточного развития эмпирических знаний об объектах окружающего мира, об их строении и взаимодействии между ними, включая в данную совокупность и самого главного действующего субъекта – Наблюдателя. По сути, в фокус внимания мирового сообщества лишь возвращено то, что под воздействием «творческих усилий» многих поколений было не совсем корректно обработано, частично извращено и, в целом, выдавлено далеко на периферию подальше от человеческого внимания и таким образом со временем было утеряно нашей цивилизацией на многие лета, если не на тысячелетия. Точно также автор не открыл, а только, «очистив от наслоений», воспроизвел сокрытый под грузом тысячелетий истинный замысел шумеров, создавших свою уникальную систему.
Во-вторых, для движения дальше в наших рассуждениях, обратим внимание на следующий тезис. В своем объеме алгебра математики шумеров обусловлена возможностями геометрических ресурсов и только возможностями геометрических ресурсов. “Das ist der Hund begraben!”^[3]– как любила повторять наша школьная учительница по математике, указывая на то, где следует искать решение поставленной задачи. Действительно, именно здесь можно найти ключ к сокрытому внутреннему потенциалу системы шумеров. Вполне очевидно, что, по-видимому, единственной и самой главной аксиомой их системы является предположение о том, что площадь произвольной плоской фигуры – инвариант геометрии. Только приняв ее в самом начале, шумерам удалось возвести всю свою конструкцию. Однако тщательный анализ ими созданной системы, самой по себе, не дает нам прямых убедительных указаний на то, что средствами их алгебры всегда и везде будет верифицироваться условие, изложенное в их основной геометрической аксиоме. В связи с этим мы можем только высказать предположение или главную гипотезу о том, что в построенной шумерами системе значение площади произвольной плоской фигуры является инвариантом (не только геометрии, но и алгебры, а следовательно, и) для всей математики.
Теперь у нас появляется мощнейшая цель – доказать, возможно шаг за шагом, главную теорему математики шумеров – теорему о достоверности данной гипотезы, по крайней мере в тех или иных условиях. По ходу ее пошагового доказательства алгебру можно непротиворечиво расширять и новыми операциями, и новыми множествами чисел, и новыми математическими структурами, всем тем, что мы находим в математике современной, наряду с тем, что при этом также пошагово может расширяться и геометрия сначала до уровня евклидовой, а затем все шире и шире до уровня современных абстрактных. При этом вокруг идеи о необходимости верификации главной гипотезы все современные математические структуры, кажущиеся сегодня чрезмерно разрозненными, будут выстраиваться также пошагово в стройную единую и упорядоченную систему, словно «живая плоть, обволакивая несущий ее скелет». Более конструктивные комментарии о предлагаемом методе будут приведены ниже.
И наконец, в-третьих, мы можем перейти к следующему аргументу. Он связан с теоремой Пифагора. То, что она имеет особое значение для математики и в наше время, – это общеизвестно. То, что она прочно связана с именем Пифагора никто, скорее всего, оспаривать не будет. И то, что нам до сих пор неизвестно как он ее доказал, – тоже не вызывает сомнений. Однако мы до сих пор говорим, что это не гипотеза, а считаем, что это именно его теорема. Так ведь утверждали еще древние греки. И вот здесь налицо еще один весомый факт в пользу основного тезиса данного параграфа. Следуя общей концепции шумеров, как показано в Приложении, но лишь немного сузив спектр задействованных ими геометрических средств, а посему уменьшив размерность используемого счисления с $60$ до $10$ , Пифагору удалось доказать возможность легального и вполне корректного расширения системы шумеров, из которого естественным следствием появляется его знаменитая теорема. А поскольку вся математика вплоть до настоящего времени с необходимостью эксплуатирует два важнейших следствия из его расширения – теорему Пифагора и $10$ -значное позиционное счисление, – то мы можем быть уверены, что основания математики, т. е. ее начала, или ее истоки, должны происходить именно от идей, положенных в основу ее фундамента мыслителями древних шумер, которые непротиворечиво и при этом всеобъемлюще и логически очень аккуратно расширил Пифагор. Знаменательно еще и то, что разработанная им методика, пользуясь которой он доказал возможность легитимного расширения их математики, является фактически основой вышеуказанного метода объединения всей современной математики в единую конструкцию.
Другими словами, Пифагор не только впервые логически обосновано привел возможность расширения математики шумеров, непосредственным следствием которого и является его знаменитая теорема, но он фактически создал прецедент, по «лекалам» которого стало возможным вполне легитимно и далее расширять исходную математику.
Практически именно этим путем вплоть до настоящего времени и развивали науку все последующие поколения математиков, порой, видимо, не отдавая себе отчета в том, что данный путь впервые указал именно Пифагор.
Ниже приведем сначала контурное описание непосредственно его расширения, а затем более подробно рассмотрим предложенный им метод и возможность его распространения на последующие этапы обустройства математики.

2.2. Расширение Пифагора

Судя по сохранившимся до сих пор клинописным дощечкам шумеров можно заключить, что они свой язык действительно стали использовать в качестве надежного средства для учета площадей засеянных полей, количества работников, величины заработной платы и многих других ресурсов, а также для учета результатов решения некоторых простых математических задач. Затем их систему использовали для составления, например, календарей и расчета движения небесных светил и прочее. И если все это демонстрирует, хотя порой и не совсем корректно, потенциальную возможность только эволюционного развития системы шумеров, то первым, кто совершил воистину революционное и судьбоносное для всей их системы логически обоснованное расширение, вскрыв всю глубину их замысла, оказался Пифагор. А вот аргумент с позиций современных. Если допустить, что Пифагор расширил именно систему шумеров^[4] и доказал при этом указанным ниже способом свою самую известную теорему, то, во-первых, это значит, что он хорошо разобрался в ней и ее возможностях, а во-вторых, тогда сразу вырисовываются ключевые предпосылки той наблюдаемой нами высокой эффективности математики в естественных науках, непостижимость которой отмечал Е. Вигнер^[5] [2] еще несколько десятилетий назад. Поскольку именно о подобного уровня эффективности изначально и позаботились древние шумеры, выстраивая свой язык «один для всего и на все времена», который просто был расширен Пифагором и который используется в полной мере в современных точных науках до сих пор.
В то время, как изначально у шумеров все объекты соразмерялись (сравнивались) по количеству используемых площадей треугольников $\Delta345$ , Пифагор нашел геометрические ресурсы для замены данного эталона другим – прямоугольником со сторонами $\Phi$ и $( \Phi - D )$ , которые происходят из процедуры деления окружности на $10$ равных частей и представляют собой отрезки золотого сечения. Таким образом, нахождение данного геометрического ресурса дало ему возможность изменить и ресурс алгебраический, а именно допустить использование десятичного позиционного счисления вместо $60$ -значного, сохранив основной принцип соразмерения площадей плоских геометрических объектов с вполне определенным эталоном. На втором шаге доказательства главной теоремы ему удалось сначала убедительно обосновать эквивалентность измерения площадей плоских фигур как непосредственно данным эталонным прямоугольником, так и непосредственно квадратом со стороной $D$ в силу того, что их площади в точности равны одна другой. Затем он доказал эквивалентность измерения площади произвольного прямоугольника как площадями квадрата со стороной $D$ , заметающими непосредственно всю его плоскость, так и через подсчет двух количеств площадей тех же квадратов, размещенных вдоль каждой из двух его ортогональных сторон, с последующим вычислением их произведения. Таким образом, существовавшая с самого начала система измерения площади прямоугольника количеством заметающих ее целых площадей треугольников $\Delta345$ была, наконец-то, только Пифагором легитимно (логически убедительно и правомерно, без разрушения системы шумеров) преобразована в систему измерения площади того же прямоугольника через подсчет целого количества площадей квадратов, размещенных вдоль сторон его периметра, с последующим вычислением произведения таких количеств (чисел), принадлежащих любой паре из его ортогональных сторон. В Приложении более подробно показано как Пифагору удалось совершить настоящую революцию в математике, обосновано заменив величину единичной площади эталона шумеров результатом процедуры ее вычисления через линейные размеры его катетов с использованием нового более симметричного эталона. Там же подробно изложено, как он смог предъявить новую систему, преобразованную от конструкции шумеров, т. е. расширенную математику шумеров, в которой площадь произвольного прямоугольника могла вычисляться через произведение величин, названных длинами его сторон. А также приведено, как в финале построенного им расширения математики шумеров ему удалось сформулировать ее следствие, которое и носит до сих пор название теоремы Пифагора. Таким образом, доказав возможность легального расширения системы и математики шумеров, он тем самым доказал и ее следствие, свою знаменитую теорему.
Подводя итоги вклада Пифагора в математику, отметим следующее. Главный вывод из его расширения, как уже было сказано, заключается в том, что для вычисления площади прямоугольника теперь нет необходимости заметать ее всю площадями измерительного инструмента. Данным инструментом теперь становится квадрат с единичной (эталонной) стороной. Поэтому вполне достаточно определить количество таких квадратов, выстроенных непрерывной цепочкой вдоль каждой из двух ортогональных сторон прямоугольника, а затем перемножением двух полученных чисел вычислить величину искомой площади прямоугольника. В рамках именно его расширения естественным образом преобразуется известное со времен шумеров классическое утверждение о сумме площадей квадратов, выраженных непосредственно через площади квадратов $S_a+S_b=S_c$ , в привычную нам форму, представленyю через произведение их сторон: $a \times a+b\times b=c \times c$ . Кроме того, из приведенной схемы расширения получается, что и 10-значное позиционное счисление, и теорема Пифагора – это два взаимозависящих математических вывода в его расширении и их связывает золотой прямоугольник со сторонами $\Phi$ и $(\Phi - D)$ , площадь которого в точности равна площади квадрата со стороной $D$ , и одним из следствий его расширения, в частности, является то, что данный факт может быть записан через произведение сторон так: $\Phi \times {(\Phi - D)} = D \times D$ . А поскольку в современной математике используется именно 10-значное позиционное счисление, постольку это и объясняет ее невероятную эффективность в естественных науках, хотя и не безграничную (!!!), так как ее язык непротиворечиво расширяет более общий язык шумеров, который изначально и создавался именно для безграничной эффективности математики во всех сферах деятельности человека, т. е. именно как язык «один для всего».
Сложно дать однозначную оценку его расширению, является ли оно преимуществом или недостатком. Тем не менее с этой математикой плодотворно работают многие поколения ученых после него. Определенно недостатком математики Пифагора является существование несоизмеримых объектов, что привело к внедрению в математику внеязыковых средств (например, $\sqrt{2}$ невыразим конечным десятичным числом). С другой стороны, эффект от предъявления Пифагором структуры такой меры, как площадь, сравним в науке с эффектом открытия электронно-ядерной структуры атомов химических элементов в опытах Томпсона и Резерфорда в конце ХIХ – начале ХХ в. Однако так можно говорить только о характере открытия, но не о значении его для науки. По своей значимости для развития всего нашего мировоззрения несомненно его открытие намного превосходит упомянутое достижение физиков. Более того последнее стало вообще возможным только благодаря первому. Заменив счисление и измерительный инструмент, он и в целом видоизменил всю грамматику языка. А именно квази-аддитивную математику площадей шумеров он обратил в расширенную до мультипликативно-аддитивной математики линий (длин), которой люди стали пользоваться тысячелетиями и после него и которую продолжили успешно развивать вплоть до наших дней. В то же время следует отметить, что де-факто введенные им меры длины, являются по сути квазилинейными мерами, поскольку де-юре все линейные величины определялись и определяются до сих пор через площадь прямоугольника (единичной высоты), как это и было с самого начала установлено шумерами. И именно поэтому данная особенность результатов, полученных в рамках математики Пифагора, позволяет непротиворечиво редуцировать их к результатам математики шумеров. Подобного рода непротиворечивая и совершенно естественная «преемственность» одной математикой результатов другой, обеспеченная особым методом расширения Пифагором математики шумеров, позволяет последовательно единым способом упорядочить все известные математические структуры.
Однако даже среди математиков Древней Греции понимание системы шумеров, видимо, не распространялось далеко за пределы школы Пифагора. По всей вероятности, такое положение дел стало следствием особой системы правил поэтапного посвящения учеников в его школе во все глубины системы шумеров и его собственного ее расширения: только одолев и приняв текущий, можно переходить к следующему, более глубокому, этапу. Вполне логичная и естественная система обучения. Но, похоже, мало кому удалось протиснуться сквозь заросли научных дебрей до познания и освоения заветного финального этапа. А недостаток информации, как уже упоминалось, приводит к неправомерным выводам. Так это или иначе, но уже у Аристотеля встречаются довольно-таки пространные комментарии о необъяснимом пристрастии пифагорейцев к поиску чисел во всем и повсюду, демонстрирующие, скорее, его не достаточную осведомленность в том нежели полное непонимание того, чем в действительности занимался Пифагор и его ученики. И, видимо, не без влияния работ Аристотеля на мировоззрение всех последующих математиков его пессимизм и скепсис к школе Пифагора относительно их «пристрастия» к числам тысячелетиями передавался по наследству от поколения к поколению ученых.

2.3. Типовой метод расширения и начала
теоретической математики

Скорее всего, кто-то из скептиков не согласится и станет утверждать, что приведенная система шумеров и найденный способ доказательства теоремы Пифагора еще не означает, будто все это и является непосредственно теми началами математики, которые искали ученые многие десятилетия. Однако в книге представлены потенциально возможные шаги для дальнейшего расширения уже математики Пифагора до уровня современной. В ней показано, что все их можно свести к некоему шаблону, используя который, по крайней мере, все известные математические структуры можно выстроить в конструкцию, обладающую единым внутренним алгоритмом, подобно тому, как в свое время Д.И. Менделеев построил систему химических элементов, положив в ее основу также некий единый алгоритм. А если так, то у скептиков останется еще меньше контраргументов против утверждений о найденных началах математики. В связи с этим рассмотрим здесь несколько более подробно, например, расширение альтернативной математики до математики Пифагора, т. е. один из нескольких последовательных этапов расширения им математики шумеров.
Согласно изложенному в Приложении, , альтернативная математика $M_{A}$ уже представляет собой некоторое расширение математики шумеров $M_{S}$ . В ней измерительным инструментом, посредством которого определяются и сравниваются величины площадей исследуемых прямоугольников, является уже не $\Delta345$ , а прямоугольник, стороны которого составляют отрезки золотого сечения $\Phi$ и $(\Phi - D)$ . Его площадь в данной математике устанавливается эталонной. Количество эталонных площадей, полностью заметающих площадь измеряемого прямоугольника $ABCE$ , определяет величину площади последнего. Найденное количество выражается условно-целым числом уже в форме десятичного счисления, а не в форме $60$ -значного счисления шумеров. Формально альтернативная математика $M_{A}$ представляет собой полиморфную структуру, состоящую из пары отображений, названных метаалгеброй $H_{A}$ и вербальной алгеброй $E_{A}$ . Причем в целом, как показано в книге, математика $M_{A}$ является расширением математики шумеров $M_{S}$ . Это значит, что метаалгебра $H_{S}$ и вербальная алгебра $E_{S}$ математики шумеров $M_{S}$ являются вложенными соответственно в метаалгебру $H_{A}$ и вербальную алгебру $E_{A}$ альтернативной математики $M_{A}$ . А кроме ресурсов, унаследованных от математики шумеров $M_{S}$ , метаалгебра $H_{A}$ и вербальная алгебра $E_{A}$ математики $M_{A}$ содержат также дополнительно все соответствующие ресурсы для оперирования и новым измерительным инструментом, и числами в десятичном счислении. Такова примерно, если кратко, была исходная диспозиция перед следующим расширением Пифагора.
Прежде всего отметим две вещи. Во-первых, эталонный измерительный инструмент (золотой прямоугольник) альтернативной математики $M_{A}$ имеет не равные ортогональные стороны. Поэтому в ней возможно измерять заданную площадь двумя существенно различными способами, отличающимися на $90^\circ$ ориентацией инструмента в плоскости измерения, как показано на Рис.4. Во-вторых, в рамках математики $M_{A}$ нет средств, чтобы установить будут ли полученные величины при таких способах измерения одинаковыми или разными. В связи с этим Пифагору и пришлось доказать теорему, что результат измерения площади произвольного прямоугольника не зависит от того, каким из двух приведенных способов она будет измерена.

способ I способ II

Рис. 4 Два способа измерения площади прямоугольника $ABCE$ эталонными площадями золотых прямоугольников.

Сначала он геометрически установил, что площадь золотого прямоугольника со сторонами $\Phi$ и $(\Phi - D)$ в точности равна площади квадрата со стороной $D$ (Рис.5), т. е. в точности равна площади фигуры, остающейся симметричной в результате поворотов кратных $90^\circ$ вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. И только после этого он нашел метод решения поставленной перед собой задачи. Найденное им решение фактически является примером того, как два одновременно не осуществимых способа измерения в рамках математики $M_{A}$ симметризуются в один абстрактный их обобщающий процесс измерения в рамках уже расширенной математики $M_{\Pi}$ .
Почему такой способ определен как абстрактный. Потому что он не имеет возможности быть осуществимым в нашем мире не только «здесь и сейчас», но и вообще где бы то ни было и в какое бы то ни было время, сразу для всех исходов его мультиплета, а только в некоторой последовательности так, чтобы можно было их разделять в пространстве или во времени. Предположим, что задана определенная точность измерения площади произвольного прямоугольника $ABCE$ . По сути, в каждом из двух различных процессов, которые описываются одной и той же математикой $M_{A}$ , может быть получено некоторое числовое значения ${ (S_{\Phi , \Phi - D})}_1$ и ${ (S_{\Phi - D , \Phi})}_2$ . Здесь для удобства использован разный порядок следования индексов: $\Phi$ , $(\Phi - D)$ и $(\Phi - D)$ , $\Phi$ .

Рис. 5 Геометрическая модель для установления равенства площадей золотого прямоугольника со сторонами $\Phi$ и $(\Phi - D)$ и квадрата со стороной $D$ (по закону сложения площадей, установленному еще шумерами, площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах; следовательно, четыре прямоугольника с попарно равными ортогональными сторонами $\Phi$ и $(\Phi - D)$ и центральный квадрат со стороной $D$ , составляющие квадрат гипотенузы, равны пяти квадратам также со стороной $D$ ).

Каждое из значений получено соответственно в рамках своего собственного экземпляра ${ (M_{A})}_1$ и ${ (M_{A})}_2$ одной и той же математики $M_{A}$ (представьте два экземпляра одной марки автомобиля сошли с конвейера — это будет аналогия для двух экземпляров одной математики). Математика $M_{A}$ и ее экземпляры ${ (M_{A})}_1$ и ${ (M_{A})}_2$ вместе со всеми своими ресурсами являются вложением в математику $M_{\Pi}$ по построению. Ресурсы же собственно расширенной математики $M_{\Pi}$ используется при измерении того же объекта уже площадью $S_{D , D}$ квадрата со стороной $D$ . Измерив заданный объект площадями таких квадратов, мы получим в математике $M_{\Pi}$ некоторое число ${ (S_{D , D})}_1$ . Таким образом двум гомоморфным результатам ${ (S_{\Phi , \Phi - D})}_1$ и ${ (S_{\Phi - D , \Phi})}_2$ , каждый из которых может быть получен в своем собственном экземпляре математики $M_{A}$ будет соответствовать один полиморфный объект ${ (S_{D , D})}_1$ расширенной математики $M_{\Pi}$ . В силу того, что площадь единичного измерительного инструмента – золотого прямоугольника – в математике ${ (M_{A})}_1$ равна единичной площади измерительного инструмента – квадрата – в математике $M_{\Pi}$ , поэтому полученный результат ${ (S_{D , D})}_1$ будет равен гомоморфизму ${ (S_{\Phi , \Phi - D})}_1$ : ${ (S_{D , D})}_{1} = { (S_{\Phi , \Phi - D})}_{1}$ . Аналогичный вывод мы получим сравнивая инструменты в ${ (M_{A})}_2$ и в $M_{\Pi}$ : ${ (S_{D , D})}_{1} = { (S_{\Phi - D, \Phi})}_{2}$ . В современной математике говорят, что два результата равны между собой, если каждый из них равен третьему. Отсюда и получается вывод, что два гомоморфных объекта ${ (S_{\Phi , \Phi - D})}_1$ и ${ (S_{\Phi - D , \Phi})}_2$ равны друг другу^[6] ${ (S_{\Phi , \Phi - D})}_1= { (S_{\Phi - D , \Phi})}_2$ , т. е. теорема доказана. Вместе с этим заметим, что, поскольку математика $M_{\Pi}$ корректно расширяет альтернативную математику $M_{A}$ , поэтому существуют средства непротиворечиво редуцировать любой результат, полученный в рамках расширенной математики $M_{\Pi}$ , в результат математики расширяемой $M_{A}$ . В данном случае все операции первой и операции второй имеют как единую область определения, так и единую область значений. А поскольку альтернативная математика $M_{A}$ является, в свою очередь, корректным расширением математики шумеров $M_{S}$ (см. комментарии об исходной диспозиции), постольку результат математики $M_{\Pi}$ может быть непротиворечиво редуцирован, в конце концов, и к результату математики шумеров $M_{S}$ .
Следует заметить, что здесь приведен пример симметризации двух дискретных значений в один дуплет. Однако аналогичный прием может быть использован при симметризации неограниченного числа возможных значений в мультиплет, который получит свое собственное имя, например, переменная. Уместно будет отметить, что данный процесс симметризации (т. е. введение категории «переменная») для соблюдения последовательности расширения математик вполне приемлемо представить еще в рамках математики шумеров. Кроме этого, в рамках все той же математики шумеров наряду с переменной может быть введено понятие параметра, если, фиксируя некоторое значение угла, последовательно «шаг за шагом» выкладывать вдоль линии неограниченное количество эталонных прямоугольников измерительного инструмента и отмечать количество произведенных «шагов» в некотором счетчике – параметре. Продолжая в том же духе, можем получить понятие циклического параметра, зафиксировав на линии один прямоугольник и меняя последовательно и неограниченно значение угла. После введения такого понятия будет вполне приемлемым использовать математику уже в физических процессах, протяженных во времени, введя соответствующую хронологическую переменную.
Разобравшись с предложенным методом на примере расширения математики альтернативной до математики Пифагора, далее требуется расширить математику Пифагора до уровня математики, содержащей, в частности, рациональные, а затем и иррациональные числа. Поэтому следующим этапом должна быть симметризация поворотов квадрата вокруг собственного центра не только на прямой угол, но и на произвольный. В итоге должна быть получена математика с введением пропорций методом Евдокса, тригонометрическими отношениями и с легализацией операции деления.
Таким образом, доказывая и далее поэтапно главную гипотезу, необходимо на каждом шаге симметрично рассматривать различные несовместимые друг с другом реальные процессы измерения, представляя их абстрактным мультиплетом. Фактически, это является представлением в ином ракурсе хорошо известного факта, что созданные учеными абстрактные структуры в рамках «чистой» математики рано или поздно найдут себе практическое применение в точных науках, поскольку новые структуры, как правило, создают обобщая уже известные. А доказательство главной гипотезы и заключается в последовательности этапов обобщения подобного рода. При этом характерно то, что следуя букве изложенного выше логического построения алгебро-геометрических структур в каждом новом расширении математики с необходимостью присутствует инструмент, который позволяет полученные в ее рамках результаты непротиворечиво свести (редуцировать) к результатам, выраженным на языке шумеров, т. е. к результатам правомерным в рамках математики расширяемой. Получается, что мы как бы «укутываем» структуру шумеров, словно кочан капусты, пошагово и неограниченно все в новые и новые «одеяния» поверх уже имеющихся, оставляя при этом возможность (а содержательно, оставляя конкретный инструмент) для столь же бесконфликтного («непротиворечивого») и убедительно осуществляемого пошагового «разоблачения» в обратной последовательности до уровня, определенного самими шумерами. Не обязательно в стиле «русской матрешки» с примитивными полными последовательными вложениями, а скорее именно подобного рода объектом, т. е. многослойно расширенной структурой, при корректном изложении и должна предстать математика современная. Это и придает оптимизм убеждению, что мы действительно находимся на верном пути построения искомой теории начал математики.
Для тех же скептиков, у кого еще остаются сомнения на этот счет можно еще раз заметить, что хотя в целом пессимизм и скепсис к школе Пифагора (видимо, не без влияния работ Аристотеля) тысячелетиями передавался по наследству от поколения к поколению ученых, тем не менее именно путем (или методом, т. к. метод происходит от др.-греч. μέθοδος, что в переводе и есть путь познания, исследования), впервые указанным Пифагором, вплоть до настоящего времени и развивали науку все эти последующие поколения математиков. Вот несколько исторических примеров, причем первый из них, расширение Евклида, рассмотрим здесь более подробно.
Напомним, Пифагор доказал теорему о том, что площадь произвольного плоского прямоугольника является инвариантом математики шумеров и не зависит от математически различимых способов ее измерения, связанных с поворотом египетского треугольника на любой его характерный внутренний угол.
Для доказательства ему пришлось расширить и геометрию, и алгебру математики шумеров, введя сначала золотой прямоугольник, а затем квадрат в качестве нового измерительного инструмента, и десятичное счисление для отображения результатов измерения новым инструментом. Причем замена не симметричного измерительного инструмента шумеров (египетского треугольника) более симметричным – квадратом – стала чрезвычайно эффективной. Это дало Пифагору возможность еще больше расширить математику шумеров введением «квазилинейных» размеров сторон измеряемых прямоугольников (и обосновать процедуру умножения двух чисел, каждое из которых может интерпретироваться как площадь подобной фигуры единичной высоты, когда результатом такой процедуры становится число, обозначающее также площадь фигуры). Открытый им феномен дал мощный импульс «брожению» древнегреческой научной мысли. Обобщенный результат их теоретических изысканий был изложен в «Началах» Евклида. В первых двух книгах этого труда фактически было показано вполне определенное расширение математики Пифагора его же методом. Суть данного расширения и причины его возникновения в следующем. Введение «квазилинейных» размеров сторон прямоугольников, через величины которых стало возможным вычислять и площади последних, и площади равнобедренных треугольников, вполне закономерно привело не только к постановке вопроса о возможности вычисления площади уже произвольного треугольника или произвольного четырехугольника, но и намного шире – о возможности вычисления площади произвольного плоского многоугольника. И основанием для формулирования подобного рода задачи явилось именно открытие Пифагора, позволявшее однозначно сопоставить произвольно заданному отрезку, т. е. любой части (участку) границы плоского многоугольника, вполне определенное число – площадь цепочки эталонных квадратов, расположенных вдоль данного отрезка или, по-другому, количество таких квадратов в данной цепочке.
В связи с этим в первых двух книгах своих «Начал» Евклид фактически доказал теорему: площадь произвольного плоского многоугольника является инвариантом математики шумеров и не зависит от математически различимых способов ее измерения.
Пифагор по ходу доказательства своего расширения использовал эталонный квадрат (т. е. квадрат с единичной стороной) для измерения площади прямоугольников; измерив ее, он показал возможность непротиворечивой редукции результата, полученного в рамках своей математики, к результату, выраженному на языке математики шумеров. В связи с этим Евклиду для доказательства своей теоремы потребовалось сначала расширить геометрию математики Пифагора, до той, которую принято называть евклидовой, введя дополнительные определения, аксиомы и постулаты. Показав в первой книге развитие на данном фундаменте геометрии уже не «квазилинейной», а именно линейной, той, к которой привык современный человек, он в двух последних теоремах этой книги (теоремах №47 и №48) показывает, что расширенная им геометрия представляет собой теоретическую структуру, в которой сохраняется главный признак и геометрии шумеров, и геометрии Пифагора. А именно, в его геометрии, также как и в расширяемых выполняются условия:
— в прямоугольном треугольнике площади квадратов, построенных на катетах, равны площади квадрата, построенного на гипотенузе : ${S_a}^2+{S_b}^2={S_c}^2$ ;
— и обратно, если для квадратов, построенных на сторонах треугольника выполняется условие ${S_a}^2+{S_b}^2={S_c}^2$ , то соответствующий угол в треугольнике является прямым.
Причем в евклидовой геометрии это же условие можно уже с полным правом выразить через узаконенное в рамках его математики произведение соответствующих длин катетов и гипотенузы: ${a}^2+{b}^2={b}^2$ . После этого Евклиду потребовалось доказать еще 14 теорем во второй книге, чтобы показать, что в расширенной им математике для произвольно заданного плоского многоугольника может быть построен равновеликий по площади квадрат. А площадь построенного квадрата (как прямоугольника частного вида), как это было показано еще у Пифагора, вполне может быть измерена эталонным квадратом и результат может быть непротиворечиво редуцирован к математике шумеров. Таким образом первые две книги «Начал» ему понадобились для доказательства вышеприведенной теоремы [6, 16] ^[7]. Однако на этот результат можно взглянуть иначе. Ведь вполне правомерно сделать и такой вывод. Евклид, расширив геометрию, показал в своих первых двух книгах, что в процессе измерения площадей инструментом Пифагора, т. е. эталонным квадратом, в его (Евклида) математике всевозможные плоские многоугольники (а многоугольные фигуры, как известно, состоят из замкнутой цепочки прямолинейных отрезков) рассматриваются совершенно симметрично.
Возвращаясь к основной теме параграфа, следует отметить, что это же самое расширение геометрии Евклидом имеет и другие следствия, изложенные уже в последующих книгах «Начал». Поэтому следующим этапом расширения уже математики Евклида должна быть, как уже и было отмечено выше, симметризация поворотов квадрата вокруг собственного центра не только на прямой угол, но и на произвольный. В итоге должна быть получена математика с введением пропорций методом Евдокса, тригонометрическими отношениями и с легализацией операции деления.
В качестве иного примера можно привести открытие неевклидовой геометрии Н. Лобачевским. Долгое время не могли оценить по достоинству его достижение, поскольку не понимали значимость того, что он сделал. И только когда было доказано, что евклидову геометрию можно симметризовать с неевклидовой, все встало на свои места, и понимание обобщенной геометрии вполне прояснилось. Фактически уже многие столетия до этого картографы, моряки и другие, кто был причастен к этому ремеслу, делали построения границ между сушей и водой, нанося на плоскую карту очертания материков и островов. Но многоугольник на земной сфере – это не то же самое, что плоский многоугольник. Вот и симметризовали процесс измерения площадей и тех, и других в рамках единой обобщенной геометрии (математики), причем, что совершенно очевидно, результат измерения площади любого из них непротиворечиво может быть редуцирован к результату на языке математики шумеров.
Еще один пример связан с процессом симметричного представления декартовых, сферических, цилиндрических координат и (хронологического) параметра в процессах измерения объектов, заданных в любой из этих систем координат при любом значении параметра. Как известно, сначала результат симметризации декартовых, сферических и цилиндрических координат был представлен в форме криволинейных координат. А затем результат уже полной симметризации был представлен в форме системы уравнений, известной ныне как система уравнений общей теории относительности, в начале ХХ в. математиком Гроссманом (более подробно см. обсуждаемую книгу). Фактически он актуализировал внутри этих уравнений исходную алгебро-геометрическую природу циклического параметра, используемого в физике в качестве координаты времени, и его математическую связь с другими величинами. В итоге процесс измерений совершенно симметрично можно рассматривать как растянутым в пространстве (и\или времени), так и не растянутым, а заданным как свершившийся факт в пространстве (и\или времени). Уравнения работают превосходно, все проводимые измерения очень хорошо соответствуют расчетным результатам. Поскольку нас интересует математика, то физической интерпретации здесь касаться не будем.
Все три приведенных процесса симметризации – и измеримости плоских прямоугольников и квадратов с прочими плоскими многоугольниками, и измеримости плоских и не плоских многоугольников (объектов евклидовой геометрии с объектами неевклидовой), и измеримости многоугольников, заданных в различных системах координат (пространственных и хронологических) – являются фактически продолжением использования метода, впервые указанного Пифагором. Однако никто при этом не упоминает его имя.

3. Онтология уникальной симметрии счисления шумеров

3.1. Сравнение счисления шумеров с десятичным

Почему же шумеры выбрали основанием своего счисления число $60$ , а не $10$ как Пифагор? Можно сослаться на то, что они владели способом деления окружности и отрезка на $3$ , $4$ , и $5$ равных частей, а $60$ – это наименьшее общее кратное (НОК) для этих чисел. Но и Пифагор это прекрасно знал! Тем не менее он сделал иной выбор. Чтобы рассудить их и выяснить, оказался ли кто-нибудь из них более прозорливым, обратимся к практике изучения человеком природных объектов, явлений, процессов, т. е. к эмпирическим данным естествознания и, прежде всего, к результатам современной физики, изучающей, как известно, законы природы и использующей язык математики для их моделирования.
К тому же сейчас в отличие от древних времен мы имеем несравненно более богатый арсенал фактов как в области естественных наук, так и непосредственно в области физической науки. Вот например, добавлять к углам углы, а к квадратам квадраты (к треугольникам треугольники, к прямоугольникам прямоугольники) – это не сложно. Поэтому в физике макромира, что мы и наблюдаем, не возникает проблем с использованием любого из счислений: всегда в любом из них без нарушения законов можно округлить параметры с любой наперед заданной точностью, чтобы получить в нем конечное число. Главные проблемы возникают в измерительных экспериментах, связанных с изучением микромира, где нам приходится делить целые эталонные объекты. Здесь нам природа предъявляет каждый раз одно и то же, а потому оно, став сначала эмпирическим обобщением, затем утвердилось уже как научный факт: в микромире существуют принципиально дробные параметры – квантовые числа, которые не могут быть произвольным образом округлены без нарушения законов Природы. Это $1/2$ – спин фермионов, и $1/3$ ( $2/3$ ) -электрический заряд кварков.
Содержательно, в физике установлены эмпирические факты, что всю материю во Вселенной, за исключением агентов, т. е. переносчиков взаимодействий, представляют два вида частиц – адроны и лептоны. Лептоны – это частицы, не имеющие своей внутренней структуры. Самым первым открытым лептоном стал электрон, и все их условно можно назвать «электроноподобными» в связи с тем, что каждый из них уже сам является элементарной частицей, т. е. неделимой, как и электрон. Наибольшую часть материи Вселенной составляют адроны или, условно говоря, «протоноподобные» частицы (а протон, как известно, примерно в $2000$ раз тяжелее электрона); и вот они уже не являются бесструктурными материальными частицами. Все адроны, т. е. практически все наиболее массивные объекты микромира, состоят из частичек – кварков. Весьма характерно, и это тоже является эмпирическим фактом, что кварки не наблюдаются в природе в свободном состоянии, т. е. не живут «поштучно», а «слипаются» по нескольку экземпляров (штук) в единую группу, которую и называют адроном^[8]. Наряду с этим в физике также установлено, что все адроны имеют целочисленный электрический заряд. Такой целый заряд адрона складывается из суммы зарядов составляющих его кварков, и именно в связи с этим заряды кварков могут быть не целыми, а дробными величинами. Не менее важен факт, что все открытые на сегодняшний день адроны являются или $2$ -х, или $3$ -х, или $4$ -х, или пятикварковыми структурами. Они носят название мезонов, барионов, тетракварков и пентакварков соответственно. Другие адроны не обнаружены. Это значит, что частиц с другим количеством кварков или вообще не существуют в природе, или они чрезвычайно неустойчивы и сразу распадаются на частицы с меньшим количеством кварков из вышеприведенного ряда. В то же время адроны с указанным количеством кварков достаточно устойчивы только лишь благодаря тому, что их составляющие кварки обладают в точности вышеобозначенными дробными квантовыми числами, которые никоим образом не могут быть округлены. Например, единичный электрический заряд адрона могут дать два кварка, обладающие зарядами в точности $1/3 = 0,333 \ldots$ и $2/3 = 0,666 \ldots$ , но никак не $0,333$ и $0,667$ , потому что последние должны не приблизительно, а в точности отличаться друг от друга в два раза, иначе такой симбиоз кварков был бы совершенно неустойчив. А поскольку, как только что было уже сказано, кварки – это такие объекты микромира, что по одиночке они вообще не могут существовать, но только лишь в мультиплете с другими (не произвольными, а определенными) кварками, следовательно, мы бы не только не имели никаких средств для установления их существования, но мы бы, как и вся наша Вселенная в целом, в принципе не могли бы существовать. Ведь существование протона, как стабильной и устойчивой структуры из объединившихся кварков, – в основе существования и нас, и всей нашей Вселенной. Именно поэтому физики и говорят, что наличие в точности данных квантовых чисел строго обусловлено внутренними законами нашей Вселенной на микроуровне.
Чисто арифметически нетрудно установить НОК для кварковой структуры адронов: $2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 =60$ . Отсюда следует, что для теории квантовой хромодинамики, науки, изучающей взаимодействие (различных) кварков (и глюонов – бесструктурных полей, связывающих кварки) внутри адронов, группа симметрии размерности $60$ может иметь важное значение.
В дополнение к сказанному, еще одним бесспорным эмпирическим фактом является то, что в современных вычислениях для тех же физических величин используется десятичное позиционное счисление. Заметим, что для обсуждаемых здесь дробных квантовых параметров наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $1/6 =(1/2) \cdot (1/3)$ , а дробь $1/6$ , как известно, в десятичном счислении не представима конечным набором цифр, т. е. в данном счислении она имеет бесконечно много различных значений, в зависимости от степени используемой точности. И снова исключительно арифметическими средствами нетрудно установить, чтобы избавиться от НОЗ, необходимо перейти к системе измерений с эталонной площадью в шесть раз большей используемой сейчас. Но в такой системе измерения и основание группы симметрии десятичного счисления должно быть увеличено также в $6$ раз, а потому мы в точности получим число $60$ в качестве основания нового позиционного счисления, при котором уже не будет дробных квантовых чисел. А таковым и является $60$ -значное счисление шумеров. Однако сейчас переход к такому счислению обычно рассматривают только как реализацию возможности выбора именно его в качестве предпочтительного из множества других альтернативных и эквивалентных друг другу счислений, согласно устоям в современной самодостаточной абстрактной алгебре. Поэтому некоторые могут спросить, а в чем кроется более существенная причина выбора именно его на смену десятичному. Само возникновение данного вопроса, как реакция на описанное предложение, – это результат восприятия математики, как таковой, принципиально отличающегося от восприятия ее древними шумерами, Пифагором и его ближайшим окружением. Дело в том, и это еще раз необходимо напомнить, что изначально алгебра строилась, как совокупность правил специального языка шумеров, посредством которого отображались геометрические объекты и отношения между ними. Только такие объекты и отношения и ничего более. Так и возникло у древних шумеров шестидесятизначное позиционное счисление именно как вынужденная форма языка для указанного отображения, а вместе с этим сформировались правила оперирования его словами (числами). Этим языком они могли описывать совершенно все, что мог воспринимать человек и о чем он мог размышлять, не прибегая к иным средствам, выходящим за пределы данного языка. Затем Пифагор нашел иной непротиворечивый способ отображения именно тех же объектов и отношений между ними, расширив несколько множество вторых и не изменяя множество первых. В итоге он изменил используемый язык и пришел к десятичному счислению. Ну, например, площадь тетрадного листа можно измерить площадями $S_{345}$ одинаковых египетских треугольников $\Delta345$ , используемых шумерами, и результат отобразить на их языке. Площадь того же тетрадного листа можно измерить единичными площадями $S_{one}=S_{D , D}$ одинаковых квадратов со стороной $D$ , введенных Пифагором, и отобразить числом десятичного счисления. Свойство непротиворечивости его расширения заключалось в том, что результаты отношений между одними и теми же геометрическими объектами, изложенные на языке Пифагора, однозначно преобразовывались (редуцировались) в результаты отношений, изложенные на языке шумеров, именно на нем и только на нем. Это было так потому, что другого способа непротиворечивого описания всего множества отношений между теми же объектами, как только на языке шумеров и на языке Пифагора, не было и нет до сих пор. Однако, расширив математику шумеров, Пифагор вынужден был смириться с тем, что для описания в полном объеме всего множества введенных им отношений между геометрическими объектами шумеров на его языке потребовалось (из-за ограниченности самого языка) использовать и внеязыковые средства, такие как $\sqrt{2}, \: e, \: \pi, \: 1/6$ и прочие, которые не представлялось возможным отобразить конечным (словом) числом букв (цифр) его языка. Ну, это, как говорится, и есть издержки системы, раскрытой Пифагором.
Поэтому воспринимая математику, вслед за древними, как единую алгебро-геометрическую систему, а не просто как совокупность разделов независимых друг от друга абстрактных наук, современные математики вслед за Пифагором вынуждены с необходимостью редуцировать результаты десятичного счисления только к результатам шестидесятизначного (другие просто нелегитимны). Если, конечно, имеется потребность в избавлении от внеязыковых элементов – бесконечных десятичных дробей или дробей рациональных. Так, например, измерив площадь тетрадного листа квадратами единичной площади $S_{one}=S_{D , D}$ каждый, можно получить некоторое десятичное число $N$ , состоящее из $N$ единиц языка Пифагора, причем каждая единица является отображением одной эталонной площади $S_{one}$ . Чтобы измерить тот же лист тетради методом шумеров, требуется взять египетский треугольник, площадь $S_{345}$ которого эквивалентна суммарной площади шести эталонных квадратов $S_{one}$ , затем необходимо посчитать общее количество таких треугольников, перекрывающих этот тетрадный лист, и после этого выразить результат числом шумеров $K$ , состоящим из единиц $K$ языка шумеров.
Отметим еще раз, что в геометрии площадь $S_{345}$ единичного эталона шумеров $\Delta345$ эквивалентна площади ровно шести одинаковых единичных квадратов $S_{one}=S_{D , D}$ Пифагора. Это значит, что каждая алгебраическая единица шумеров $(1)_{SH}$ представляется ни больше ни меньше, а ровно шестью алгебраическими единицами Пифагора $1$ .
Теперь из всего сказанного следует, что переход к шестидесятизначному счислению является не только возможным, но и необходимым для изложения всех возможных отношений без использования каких-либо дополнительных внеязыковых средств, по крайней мере, в современной физике. Содержательно, для редукции результатов необходимо количество единиц, сгруппированных в десятичном числе, разделить на шесть и перегруппировать полученное новое количество единиц в число шестидесятизначного счисления шумеров. В то же время данное правило не регулирует редукцию результатов измерения угловых величин, но комментарии об этом последуют чуть позже.
Таким образом, чтобы все параметры физики микромира также как и параметры физики макромира были выразимы конечными (квази-целыми) числами, мы должны пользоваться в ней счислением шумеров, а не Пифагора. Данный вывод вроде бы логически вполне правомерен. Тем не менее кто-то может возразить, что, мол, целочисленное основание счисления (или размерность языка) шумеров чисто случайно совпадает с размерностью группы симметрии, требуемой в физике микромира, и наличие такого совпадения между симметрией экспериментальных данных современной физики и симметрией системы шумеров еще ничего не означает. А потому, мол, к данному факту и относиться надо не иначе как к исключительно случайному, хотя и счастливому, совпадению и не придавать ему особого значения. Ну право же, продолжат они, разве можно серьезно говорить о равенстве НОК в квантовой хромодинамике и НОК у шумеров не иначе как о случайности. Ведь в первом случае речь идет о структуре материи, а во втором – всего лишь о предпосылках геометрического характера. По-другому, в первом случае речь идет о законах мироздания, а во втором – об интеллектуальных навыках (способностях) человека, т. е. всего лишь о некоем не основанном на какой-либо материальной реальности (а потому чуть ли не иллюзорном) свойстве одной из многочисленных форм материи этого самого мироздания.
Однако это отнюдь не так. Как показал анализ, данный тип счисления (т. е. позиционность) и данная его размерность появились у шумеров именно в результате поисков возможности корреляции систем измерения разнородных физико-геометрических характеристик, т. е. в результате поисков такой системы измерения, в которой можно было бы совершенно симметрично (или однотипно, или единообразно) работать с любым параметром из определенного списка разнородных. Что здесь имеется в виду? Например, для измерения такой величины (или параметра), как площадь, в их время могло существовать много различных систем измерения и не обязательно позиционных; каждая из них могла иметь свою собственную размерность группы симметрии для счисления, в котором представлялись результаты измерения именно площадей, или не иметь группы симметрии вообще. В частности, счисление у древних римлян не было позиционным. Другими словами, для измерения, например, только площадей могли предлагаться различные счисления и к тому же с не одинаковыми симметриями используемых символов. Подобно этому для измерения углов могла существовать своя собственная совокупность методов измерения со своими индивидуальными способами представления полученных результатов в виде символов. Вполне возможно, что и для измерения промежутков времени также могла быть выбрана своя совокупность методов и счислений. Понятно, что поскольку эти системы могли быть совершенно различными, постольку должны существовать значимые предпосылки, чтобы отдать предпочтение хотя бы какой-либо одной для измерения, например, площадей, другой – для измерения углов, третьей – для измерения времени, а тем более должны быть вполне весомые основания, чтобы только одной из них охватить все перечисленные параметры (величины) сразу. И детальное исследование показало, что у шумеров действительно не могло быть никаких иных причин создавать именно данную систему не иначе, как только для унификации метрики и размерностей группы симметрии систем измерения именно перечисленных разнородных величин.
Итак, подводя промежуточные итоги, отметим следующий вывод. Одним из главных достижений древних шумеров является изобретение $60$ -значного позиционного счисления и разработка правил, прежде всего, аддитивного оперирования его числами так, чтобы данное счисление совершенно симметрично (или унифицировано) могло применяться для измерения и площадей, и углов, и промежутков времени. То есть в их математике имеется в точности такое счисление, которое и требуется для представления целыми числами результатов измерения именно тех параметров, значение величин которых в современной физике (с использованием счисления Пифагора) представляется дробными числами. В такой формулировке данный эмпирический факт уже сам по себе мог быть более серьезным аргументом в пользу построения теории физики на базе математики шумеров, нежели просто ссылка на равенство размерностей групп симметрии. В дополнение к сказанному стоит напомнить еще один весьма важный факт методологического характера, что все эти величины определяются у шумеров непосредственно через подсчет количества площадей измерительного инструмента – $\Delta345$ – и никак иначе. А вот не менее важный факт также методологического характера уже из области изучения фундаментальной структуры материи в наше время. Для физиков общеизвестно, что еще с самого начала формирования экспериментальной базы квантовой теории основные опыты строились именно на рассеянии частиц на разные углы. И в наше время, точно так как и прежде, с точки зрения методологии исследований ключевыми для физики микромира остаются эксперименты, в которых основными измерительными параметрами являются углы отклонения частиц (потоков, лучей и т. п.) от их начального направления движения после какого-либо воздействия на них извне, а также площади и линейные размеры. И это тоже весьма важный эмпирический факт. Ну и, в конце концов, повторим, что в современных вычислениях для тех же углов, площадей, линейных размеров и временных интервалов используется десятизначное позиционное счисление – это также бесспорный эмпирический факт.
Теперь перейдем к анализу современных методов измерения угловых и линейных величин. Во-первых, со времен шумеров мы умеем измерять величину угла не иначе, как только через расчет отношения заметаемой им части площади правильного многоугольника к площади всего многоугольника. Разница лишь в том, что у шумеров такой многоугольник имел $60$ вершин, а у Пифагора – $10$ , а площадь его в обоих случаях принималась равной единице или (при необходимости) равной, например, количеству его вершин (т. е. степени основания счисления). Во-вторых, со времен Пифагора мы умеем измерять длину (прямого, кривого) отрезка, хотя и опосредованно, но тоже не иначе, как только через площадь. А именно, длина отрезка определяется через расчет укладывающейся вдоль него площади прямоугольника единичной высоты.
Во всех основных системах единиц (СИ, СГС, СГСЭ и т. д.), используемых в современной физике, угловой мерой является радиан. И в данных единицах величина угла также вычисляется через расчет отношения отсекаемой радиусами $OB$ и $OA$ (Рис.6) части площади правильного $10$ -угольника, вписанного в окружность с центром в т. $O$ , к площади всего этого многоугольника притом, что максимальное значение такого отношения выбрано не единичным, а увеличенным в $2\pi$ раз. Ниже обоснуем данное утверждение.

Рис. 6 Вычисление величины угла $\alpha$ в радианах через длину дуги $L$ и радиус $R$ : $\alpha = L/R$ .

По определению, величина угла $\alpha$ в радианах вычисляется через длину дуги $L$ и радиус $R$ следующим образом: $\alpha = L/R$ . Отсюда длина дуги будет равна $L=\alpha R$ ; здесь и длина дуги, и радиус измеряются, например, в метрах. Понятно, что эти линейные величины рассчитываются через площадь прямоугольника единичной высоты (ведь по-другому измерять их мы не умеем). Длина всей же окружности будет вычисляться так: $L_{cir}=2\pi R$ . Чтобы определить какую часть площадь $S_{ABO}$ некоторого сектора $ABO$ (Рис.6) отсекает от всей площади $S_0$ окружности с центром в точке $O$ , требуется вычислить отношение $\overline {S}$ :

$\overline {S}=\frac{S_{ABO}}{S_0}.$

Внутри одной окружности это же отношение в точности равно отношению длины дуги $L$ сектора $ABO$ к длине всей окружности $L_{cir}$ :

(1) $\begin{equation*} \overline {S}=\frac{L}{L_{cir}}=\frac{\alpha R}{2\pi R}=\frac{\alpha}{2\pi}. \end{equation*}$

Таким образом одно и то же отношение $\overline {S}$ в точности определяет и часть отсекаемой дуги, и часть отсекаемого угла, и часть отсекаемой площади. И все это определяется через отношение площадей, т. е. точно так как это изначально установили шумеры. Напомним, что одной из основных аксиом их системы было утверждение, что величина угла между радиусами строго пропорциональна площади, которую они отсекают от правильного $60$ -угольника. Этой же аксиомой воспользовался и Пифагор, заменив лишь $60$ -угольник на $10$ -угольник. И этой же аксиомой пользуются и в современной системе измерения, заменив лишь $10$ -угольник на весь круг, а величину полного угла вместо единицы приняли увеличенной в $2\pi$ раз, т. е. словно растянули всю шкалу в $2\pi$ раз. Для сравнения отметим, что у Пифагора величина произвольного угла $\alpha_{\Pi}$ между радиусами $OB$ и $OA$ вычисляется через площадь $S_{10}$ правильного $10$ -угольника и площадь $S_{\alpha{\Pi}}$ , отсекаемую от этой фигуры этими радиусами:

(2) $\begin{equation*} \alpha_{\Pi}=\frac{S_{\alpha{\Pi}}}{S_{10}}. \end{equation*}$

В наше время угол $\alpha$ между теми же радиусами $OB$ и $OA$ вычисляется через площадь $S_{0}$ , ограниченную всей окружностью и площадь $S_{ABO}$ ее части, ограниченной радиусами :

(3) $\begin{equation*} \alpha=\frac{ S_{ABO}}{S_{0}}\cdot 2\pi. \end{equation*}$

Практически получается, что значение угла в современной системе измерения действительно в $2\pi$ раз больше, чем у Пифагора. Однако кто-то может возразить, что площадь $S_{0}$ круга в (3) больше площади $S_{10}$ правильного $10$ -угольника в (2). Но и отсекаемая от него данным углом часть $S_{ABO}$ в (3) также больше отсекаемой им части $S_{\alpha{\Pi}}$ $10$ -угольника в (2). Поэтому с оговоркой о небольших отличиях в точности угловых значений можно считать, что выполняется равенство: $\alpha \approx 2\pi \cdot\alpha_{\Pi}$ . А следовательно, исходное утверждение можно считать полностью обоснованным.
Теперь приведем оценку значений углов в двух сравниваемых счислениях. Треть полного угла, $120^{\circ}$ или $2\pi/3$ , будет составлять треть от основания счисления. В $10$ -значном счислении это будет число $10/3$ , то есть дробный параметр (т. к. полный круг равен $10$ ). А этот же угол в $60$ -значном счислении ( $60/3=20$ ) выражается целым числом. Если теперь фермионы (одного кваркового состава) с левым спином отклонились, например, на половину такого угла (т. е. на $60^{\circ}$ ) влево, а фермионы (возможно, другого кваркового состава) с правым спином на такой же угол (на $60^{\circ}$ ) вправо (а между левым и правым отклонениями будем иметь также $120^{\circ}$ ), тогда в $10$ -значном счислении угол рассеяния частиц с одинаковым спином относительно начального направления выражается числом $10/6$ , то есть также дробным, а в $60$ -значном опять получаем целое число ( $60/6=10$ ). А относительный же угол между рассеянием и тех и других частиц будет все также составлять треть полного угла, т. е. также будет равен дробному параметру в одном счислении и целому – в другом.
Кроме этого, можно привести правило редукции результата измерения угла в системе Пифагора к результату измерения этого же угла в системе шумеров. Если, как было выше сказано, при измерении площадей каждая алгебраическая единица шумеров $(1)_{SH}$ представляется ровно шестью алгебраическими единицами Пифагора $1$ , то для соответствующей редукции результатов измерения площадей сначала приходится полученное число десятичного счисления делить на 6, а затем единицы в полученном частном группировать в $60$ -значное счисление шумеров. В то же время для редукции результатов при измерении углов, наоборот, необходимо количество единиц, сгруппированных в десятичном числе, умножить на 6 и перегруппировать в число шестидесятизначного счисления шумеров, то есть как раз все вышеприведенные дробные квантовые числа становятся целыми после такой редукции. Рассмотрим простой пример. Выберем конкретный угол $\alpha$ , который в современных единицах измерения равен $54^{\circ}$ , т. е. $\alpha= 54^{\circ}$ при том, что полный угол равен сумме $360$ угловых единиц $1^{\circ}$ . В системе Пифагора окружность замещается правильным $10$ -угольником, т. е. полный угол разбивается на $10$ равных угловых единиц $1_{\Pi}^{\circ}$ . Отсюда следует, что угловая единица Пифагора соотносится с современной угловой единицей следующим образом: $1_{\Pi}^{\circ}=36^{\circ}$ . Поэтому в единицах измерения Пифагора тот же угол должен быть выражен числом в $36$ раз меньшим: $\alpha= {1,5}_{\Pi}^{\circ}$ . В системе шумеров окружность замещается правильным $60$ -угольником, т. е. полный угол разбивается на $60$ равных угловых единиц $1_{SH}^{\circ}$ . Отсюда следует, что угловая единица шумеров соотносится с современной угловой единицей следующим образом: $1_{SH}^{\circ}=6^{\circ}$ . Поэтому в единицах измерения шумеров тот же угол должен быть выражен числом в $6$ раз меньшим: $\alpha= 9_{SH}^{\circ}$ . В итоге получаем для одного и того же угла значения в каждой системе измерения $\alpha= 54^{\circ}={1,5}_{\Pi}^{\circ}= 9_{SH}^{\circ}$ . Это в точности соответствует вышеприведенному правилу умножения результатов на число $6$ при редукции этих результатов от современного языка к языку шумеров.
Так значит древние шумеры оказались более прозорливыми, в отличие от Пифагора, потому что они имели представление о дробных квантовых числах, т. е. они были знакомы с квантовой механикой? Конечно, нет. Но они, вполне очевидно, были хорошо знакомы со свойствами так называемых групп симметрий. Повторим еще раз, они могли делить окружность на три равных части, а также на четыре, пять, шесть и десять частей. И, действительно, НОК для этих чисел равен не десяти, а шестидесяти. Именно поэтому они были совершенно уверены, что если выбрать десятичное счисление, то рано или поздно в нашем мире обнаружится то, что нельзя будет описать целым числом: человеку же свойственно без особого труда выделять, например, ровно треть окружности. А, следовательно, создаваемый ими язык будет содержать слово, соответствующее такой части, с бесконечным количеством букв. Попробуйте себе представить, если в русском языке было бы хоть одно такое слово.
Итак, то, что древние шумеры были прозорливее Пифагора, похоже, сомнений не вызывает. Однако какая огромная дистанция между этими двумя языками при совершенно ничтожном различии в точности их описания. С одним мы можем чувствовать себя абсолютно уверенными всегда и всюду, поскольку он действительно «один для всего», а с другим мы так или иначе где-то «споткнемся» и вынуждены будем наряду с ним начать пользоваться внеязыковыми средствами.
Тем не менее кто-то опять может сказать, что, мол, наличие такого совпадения между симметрией экспериментальных данных современной физики и симметрией системы шумеров еще ничего не означает и что это также следует считать исключительно случайным, хотя и тоже счастливым совпадением, к тому же налицо явное различие в точности измерений и его игнорировать никак нельзя. Да, в принципе данный факт можно было бы, в конце концов, считать просто счастливым случайным совпадением. Ну, действительно, современная физическая теория оперирует множеством таких разных и таких сложных математических структур, которые все вместе никак не сопоставимы с простой аддитивной математикой шумеров (просто «на минуточку закроем глаза» на существующие способы подобного отображения моделей двоичным счислением также с аддитивной математикой на современный компьютер). Другими словами, наличия системы шумеров с ее счислением и аддитивной математикой на первый взгляд представляется явно недостаточным для возможности редукции к ней результатов, полученных средствами современной мультипликативной математики, очень сложной и многогранной системы, да к тому же еще и представленными в другом счислении и с другой метрикой. Однако выше уже было отмечено, что имеется вполне конструктивный метод, который позволяет создать единую конструкцию из всех существующих математических структур, расширяя шаг за шагом непротиворечивым способом простую систему шумеров или, условно говоря, надстраивая над ней последовательно одну за другой все существующие математические структуры. Что весьма важно, при таком расширении все результаты физических измерений можно будет непротиворечиво редуцировать из любого уровня расширенной математики последовательно вниз до уровня математики шумеров. Вот этот факт, вместе с предыдущими уже будет невозможно считать счастливой случайностью и нельзя будет проигнорировать. Все вместе они представляют достаточно убедительную аргументацию в пользу того, что современная физическая теория построена на математике, которая имеет своими корнями именно математику шумеров. И неопровержимым доказательством этого являются, в частности, получаемые результаты физических экспериментов. Поэтому в книге [21] и предлагается провести ревизию физической теории и привести физическую картину мира в соответствие с условно-аддитивной математикой шумеров. Заметим, что язык шумеров принципиально отличается от языка Пифагора. В связи с этим для корректного отображения на языке шумеров требуется ревизия физической картины мира, а для отображения на языке Пифагора вполне эффективна имеющаяся.
Выводы:

Для исключения прецедентов искажения информации на всех этапах ее передачи от источника к потребителю необходимо отображать ее на языке шумеров с квази-аддитивной математикой.
Для исключения использования внеязыковых средств необходимо представить математическую модель текущей физической картины мира на базе счисления шумеров, а не Пифагора.

3.2. Экзистенциальные причины уникальности счисления шумеров в симметрии генома человека

Не секрет, что в современной алгебре позиционное счисление может быть построено с любым целым числом в своем основании. Известен также и алгоритм пересчета числа одного такого счисления в число другого. В связи с этим в наше время принято, что все позиционные счисления с целочисленным основанием являются эквивалентными. Поэтому исследование уже имеющихся алгебраических структур, создание и тестирование новых может проводиться при необходимости с любым из них. Это значит, что все результаты измерений в рамках современных алгебраических процедур формально могут быть непротиворечиво переведены в слова языка шумеров, причем о математической непротиворечивости здесь можно говорить исключительно номинально, т. к. этим счислениям не предваряется никакая геометрическая модель. Но даже в этом случае в обратном направлении мы имеем (всего лишь) только гарантии, убедительно аргументированные Пифагором, а именно, его доказательство о возможности непротиворечивого расширения языка шумеров, т. е. всего их алгебро-геометрического отображения, лишь десятичным счислением. А не имея никаких иных доказательств общематематического характера, мы ничего не можем утверждать о других системах счисления, кроме одной – двоичной.
Чем же выделяется двоичное счисление? В фундаменте системы шумеров, также как и системы Пифагора, находится плоский многоугольник. В первом случае он имеет шестьдесят вершин, во втором – десять. На первый взгляд гипотетически вполне возможно построить плоский многоугольник, имеющий конечную площадь, с любым целым числом вершин, кроме двух. В связи с этим гипотетически существует возможность расширения математики с любым таким счислением, кроме двоичного. Именно поэтому у древних греков и считалось, что «число начинается с трех». А для современной математики это значит, что, опираясь на феномены Природы, можно сформулировать класс математических задач, решение которых конечными ресурсами в принципе не досягаемо при посредстве двоичного позиционного счисления. Следовательно, для целей комплексного моделирования мироздании само по себе двоичное счисление заведомо является недостаточно эффективным.
Итак, опираясь исключительно на средства собственно математики, можно сделать вывод, что все позиционные счисления с целочисленным основанием теоретически могут считаться эквивалентными, за исключением двоичного. В то же время материал, изложенный в предыдущих параграфах, приводит нас вслед за шумерами к выводу о необычной исключительности именно их языка. Почему же столь уникален язык шумеров? Чем и как объяснить причину этого? Первое, куда следует обратиться, – это внешний мир, Природа. Действительно, если и существует некий объективный маркер на преимущественное использования именно языка шумеров, то его надо искать в результатах математического исследования природы, т. е. прежде всего в физике, химии. Первая нас интересует в данном случае потому, что она изучает структуры, на которые последовательно делятся все материальные объекты макромира. Вторая же – поскольку она изучает законы образования стабильных многомерных макроструктур, начиная с некоторого уровня эталонных «кирпичиков», которым является уровень атомарный. И выше уже было установлено, что одной из предпосылок для предпочтения языка шумеров всем остальным языкам являются существующие специфические материальные частицы-первокирпичики – кварки и фермионы. Но после этого только можно согласиться, что язык шумеров действительно уникален. Ведь сама по себе данная физика не объясняет причин, а лишь намекает на существование экзистенциального способа реализации исключительного механизма в Природе. Ведь из кварков и фермионов состоят все материальные объекты окружающего нас мира. Нас же интересует, имеется ли реально гораздо более существенная причина причем такая, которую мы бы все безоговорочно приняли именно в качестве таковой? Для Наблюдателя объектами исследования во внешнем мире являются феномены не только не живой, но и живой материи. Поэтому обратимся к структуре самого главного для нас объекта живой материи в Природе.
Анализ эмпирических фактов генетики о «структуре» Человека, о его геноме, и эмпирических фактов различных разделов химии (биохимии, химии полимеров, квантовой химии и др.) позволяет предположить, что уникальность симметрии языка шумеров является следствием того, что процесс обработки информации человеком и сравнительный анализ, да и в целом процесс мышления человека квантуется и имеет данную симметрию, т. е. обладает симметрией данной математической группы. Материальной же основой такой симметрии дискретных процессов функционирования сознания (мышления) человека, определяющей особенность всей его деятельности, в том числе и ментальной, может быть квантово-химическая специфика совокупности допустимых состояний каждого отдельного мономера в любой полимерной цепочки ДНК человека.
Чтобы пояснить более содержательно, для начала представим себе новогоднюю елочную гирлянду с нанизанными вдоль нее разноцветными лампочками. Обычно лампочки на ней соединяются так, что вся гирлянда продолжает работать, даже когда одна или несколько лампочек перегорают. Таким образом каждая лампочка в некотором смысле автономна в пределах всей гирлянды. На следующем этапе представим, что с гирлянды лампочки свисают не по одной, а тройками, и внутри троек они различаются, например, величиной – большая $(B)$ , средняя $(M)$ , малая $(S)$ , а, кроме того, каждая из них также автономна как от всех других на гирлянде, так и от двух других в своем триплете. Теперь каждую лампочку из наших триплетов, как «родительскую», окружим своим собственным контуром лампочек-«потомков» так, чтобы они были совершенно автономны от любой другой лампочки на гирлянде, кроме своей «родительской». Допустим также, что «потомки» одного «родителя» отличаются цветом и размещаются следующим образом. Вокруг малой содержится три лампочки: красная $(1)$ , синяя $(2)$ , желтая $(3)$ . Обозначим их $S_{1}, \: S_{2}, \: S_{3}$ . Вокруг средней – четыре: красная $(1)$ , синяя $(2)$ , желтая $(3)$ , зеленая $(4)$ , а вокруг большой – пять: красная $(1)$ , синяя $(2)$ , желтая $(3)$ , зеленая $(4)$ , оранжевая $(5)$ . Обозначим их $M_{1}, \: M_{2},\: M_{3}, \: M_{4}$ и $B_{1}, \: B_{2}, \: B_{3},\: B_{4},\: B_{5}$ , соответственно. Если теперь вокруг каждого «родителя» постоянно держать все лампочки выключенными, кроме одной, т. е. одна в контуре «потомков» всегда должна быть включенной, то мы получим, что каждый триплет будет обладать в точности $60$ -ю совершенно независимыми устойчивыми состояниями. Каждое состояние характеризуется своей неповторимой тройкой индексов в триплете $\{B_{i}, M_{j}, S_{k}\}$ , в котором нижние индексы $i, \: j, \: k$ могут принимать следующие значения: $i=1,\:2,\:3,\:4,\:5$ ; $j=1,\:2,\:3,\:4$ ; $k=1,\:2,\:3$ . Количество неповторяющихся комбинаций таких индексов вычисляется в точности, как и НОК: $3\times 4\times 5 =60$ . Можно немного видоизменить схему и использовать в качестве «потомков» любого «родителя» одинаковые лампочки одного цвета, но держать включенными вокруг каждого «родителя» одно из возможных количеств «потомков». Например, вокруг средней лампы $M$ может быть включенной или одна, или две, или три, или четыре лампочки-«потомка». Нетрудно посчитать, что количество возможных различных комбинаций горящих «потомков» вокруг своих «родителей» также будет равно НОК: $3\times 4\times 5 =60$ .
А в завершение заменим одинаковые лампочки-«потомки» на одинаковые конденсаторы. Теперь тот же самый ток, который заставлял светиться лампочку-«потомка» будет заряжать конденсатор на ее месте. Теперь тот же самый ток, который заставлял светиться лампочку-«потомка», будет заряжать конденсатор на ее месте. В модифицированной таким способом «гирлянде» вместо различных комбинаций горящих лампочек-«потомков» нас будет интересовать количество возможных различных комбинаций заряженных конденсаторов вокруг своих «родителей». Заряжая каждый конденсатор, мы сохраняем в нем некоторое «значение» информации до тех пор, пока не разрядим его. И снова количество различных комбинаций сохраняемой информации внутри данного триплета «родителей» будет равно НОК: $3\times 4\times 5 =60$ .
А теперь вернемся к ДНК. Строительным материалом генома человека являются химические элементы реального мира. Они организованы в специальные структуры, особым способом в длинные цепочки схожих звеньев генома. Внутри таких структур химические элементы способны под внешним воздействием локально менять типы (виды, формы) химических связей между собой внутри звена, что энергетически компенсируется изменением состояния (за счет перекомпактификации) его (звена) молекул, атомов, ядер. Свойство инертности пребывать в устойчивом состоянии, т. е. свойство сохранять имеющееся состояние в звене до следующего внешнего воздействия непосредственно на элементы звена, позволяет реализовать модель геномо-симметричной информационной (вычислительной) системы (ГЕНСИН системы), механизм функционирования которой подобен последовательности элементарных актов мыслительной деятельности человека.
Образно говоря, упрощенной моделью цепочки ДНК является вышеописанная гирлянда с конденсаторами. В реальной же ДНК роль триплетов, «свисающих» с гирлянды, выполняют однотипные звенья – нуклеотиды, мономеры генома человека, содержащие азотистое основание, сахар и фосфатную группу. Судя по валентностям основных наиболее тяжелых химических элементов этих мономеров – трехвалентному азоту, четырехвалентному углероду и пятивалентному фосфору, – число устойчивых квантово-механических состояний (т. е. степеней свободы) каждого мономера в геноме человека (снова НОК!!!) ровно $60$ ( $3\times 4\times 5 =60$ ). Ну а каждое устойчивое квантово-механическое состояние мономера – это определенное «значение» (из возможных различимых) «бита» информации, которое может быть сохранено на длительный срок до следующего изменения («переключения») состояние мономера внешним воздействием.
Именно данный факт, по-видимому, «бумерангом» возвращается в процесс получения и обработки информации человеком, будь то эта информация, приходящая из внешней среды или от его собственного тела. Другими словами, поскольку такова симметрия его способа осмысленной или рефлекторной (бессознательной или подсознательной) обработки информации, поэтому и в других взаимодействиях объектов внешнего мира и самого себя с объектами внешнего мира он усматривает в точности только данную симметрию, а все остальное для него является совершенно асимметричным, хаотичным, «бессистемным» или непрерывным фоном. В связи с этим еще в книге [21] и была выдвинута рабочая гипотеза о том, что уникальность симметрии языка шумеров обусловлена симметрией совокупности степеней свободы мономеров генома человека или, по-другому, симметрией множества устойчивых квантово-механических состояний (резонансов).
Если это так, то данный факт действительно будет той причиной, которую, пожалуй, безоговорочно примет любой человек.
Выводы.

Причина уникальности счисления шумеров, обеспечивающего безграничную эффективность применения ко всем сферам деятельности человека построенной на его базе математики, в существовании $60$ -значной симметрии квантовых переходов внутри элементов цепочки генома Человека; они же при той же внутренней симметрии определяют специфику и всей его ментальной деятельности (в том числе и как процесса квантующегося).
Единообразие структуры генома у всех субъектов нашей цивилизации является причиной уникальности языка шумеров как средства для непротиворечивого обмена информации между людьми.
Для исключения прецедентов искажения информации в коммуникативных схемах с участием человека необходимо и достаточно использовать счисление шумеров с квази-аддитивной математикой.

Из всего сказанного напрашивается еще один вывод.
Математика – это искусство (ремесло, наука) поиска (разработки, открытия, создания) подходящих (алгоритмов) способов описания тех или иных феноменов окружающего нас мира и самих себя языком древних шумеров.
Это можно считать основой краткого и ясного ответа на вопрос, что такое математика. Все остальное, что говорится сейчас о ней, что это наука о пространственных формах и количественных отношениях; наука о мере и порядке; наука о математических структурах, об абстракциях, симметриях; особый вид интеллектуальной деятельности и т. д и т. п. – все это действительно относится к ней. Однако это или сопутствующие средства (ресурсы), или инструменты, способствующие получению конечного продукта данного ремесла.

III. Что такое математика

1. В силу особой важности вопроса, вынесенного в заголовок, для понимания предназначения математики, ее роли и реальных возможностей при формировании объективных знаний о действительности его освещению посвящается отдельная глава. И хотя мы уже немного продвинулись в ее определении, приведя формулировку в конце предыдущей главы, тем не менее ранее сказанное относится к взгляду на математику практически все в том же самом привычном нам ракурсе или близком к нему, который скорее можно назвать ритуальным, нежели рациональным, поскольку рой возникающих вопросов к приведенному определению ничуть не меньше, чем к любому другому, встречающемуся где-либо. И в наше время подобного рода консерватизм заставляет нас «кружить вокруг да около» лишь ее частного определения. Кроме того, будучи верным по смыслу, приведенное определение получилось весьма скупым по наполненности конкретным содержанием. Из него никоим образом не следуют ни многоплановость, ни чрезвычайная значимость для людей феномена, именуемого математикой, поскольку ни эти свойства, ни их предпосылки не получили в нем никакого отражения. В то же время детальный анализ структур именно данных предикатов математики приводит нас к выводу об ее исключительной роли в процессе развития нашей цивилизации. В связи с этим поставим задачу наполнить содержанием ее определение насколько это возможно с учетом различных ее ипостасей. Ниже будет предложено более общее определение математики, следующее из широкого панорамного взгляда на нее, охватывающего ее различные ракурсы и, тем самым, будет дан наиболее корректный и полный ответ на вопрос, что такое математика и чем с момента своего зарождения в эпоху древних шумер она являлась, является сейчас и будет таковой пока существует наша цивилизация.

2. Прежде всего, из приведенного определения в предыдущей главе и ее контекста вполне недвусмысленно вытекает вывод, что занятие математикой – это творческая деятельность по созданию уникальных способов измерения геометрических объектов допустимым инструментом с сопутствующим методом учета получаемого результата, причем способов, каждый из которых в применении к измерению площади квадратной фигуры дает тот же самый результат (или сводится к таковому), что и в системе измерения, созданной еще древними шумерами, измерявшими данную площадь «египетским» треугольником и отображавшими результаты в форме слов (чисел) 60-значного позиционного счисления. Отсюда следует, что это прежде всего искусство, правда, искусство особого рода. Не очень короткое, но достаточно прозрачное и доходчивое определение математики как рода занятий, например, ученого-исследователя. Если же под различными способами измерения понимать способы, отличающиеся не только измерительным инструментом, но и, например, приемами его применения, методами учета получаемых результатов измерения и т. п., или хотя бы чем-то одним из них, то вышеприведенная формулировка примет более компактный вид. Как занятие, математика – это искусство (наука, ремесло), т. е. творческая деятельность по изучению и созданию различных способов измерения площади квадратной фигуры, каждый из которых дает тот же самый результат, что и полученный в системе измерения древних шумеров, или непротиворечиво сводится (редуцируется) к последнему. Однако определение рода занятий человека еще не дает нам достаточно ясного понимания собственно предмета этих занятий. А как предмет изучения (или объект), математика — это прежде всего свод или совокупность уже известных (открытых) способов подобного измерения. В то же время искомые математиками способы, возможно, могут различаться не только уже известными предикатами. Вполне вероятно, что в дополнение к уже установленным рано или поздно могут быть открыты новые способы, а в будущем у последних могут появиться предикаты, еще даже нигде не перечисленные и не учтенные. И это тоже надо иметь в виду.
Таким образом мы можем определить математику, скажем так, в первом приближении, т. е. на основании круга задач «тактического» характера по созданию инструмента или ресурса – совокупности определенных способов измерения – для решения задачи стратегической. А теперь следует отметить наиболее важное в определении термина «математика» – ее главные цели и задачи и ее предназначение. Создание различных способов подобного рода измерений не является самоцелью, но только лишь средством для решения глобальной (стратегической) задачи, стоящей перед нашей цивилизацией. Таковой является создание специальной высокоэффективной коммуникативной системы для общения людей. Ведь каждый субъект – это «черный ящик» для всех остальных со своими собственными и никому другому неизвестными мыслями, ощущениями, представлениями и т. п. В то же время эффективность собственно коммуникативной системы определяется степенью согласованности действий отдельных субъектов (совокупности отдельных «черных ящиков») социума в борьбе за существование нашей цивилизации среди прочих видов материи. Вполне убедительными примерами в этой связи являются вышеупомянутые наблюдаемые в природе мурмурации птиц или подобные состояния пчел, рыб и т. п. Итак, одной из главных задач для стабилизации и повышения устойчивости существования всей цивилизации является установление особого высокоэффективного канала межсубъектной коммуникации, исключающего (или минимизирующего) ошибки из-за случайного взаимного недопонимания, со всеми необходимыми для его надлежащей работы ресурсами. При этом главный из требуемых для этой цели ресурсов – необходимый язык общения – был создан еще мыслителями древних шумер. Он остается таковым и в настоящее время и останется им и в будущем. И для этого есть особые причины и предпосылки. Они обусловлены уникальными свойствами экзистенциальной структуры строения самого Человека и физическими принципами функционирования его собственных внутренних систем. А самое важное здесь то, что за этими общими словами в предыдущей фразе кроется весьма функционально эффективное содержание и непосредственно существующее в мире в виде совокупности материальных соединений химических элементов, в которые можно «ткнуть пальцем», и опосредованно проявляющее себя везде и всюду в человеческой деятельности так, что результаты такого проявления являются вполне осязаемыми каждым. В частности, состояние современной физики да и всего современного естествознания такого (см. анализ выше), что мы можем уже сейчас совершенно точно, хотя и опосредованно, утверждать, что, изучая окружающую Природу, человек, если и способен непротиворечиво и эффективно отображать все им исследованное только на одном языке, то этим языком является позиционное счисление, по крайней мере, с основанием 60, и ни в коей мере таковым не может быть ни двоичное, ни десятичное счисления. А вот непосредственная причина этого феномена коренится никак не во вне человека, ведь очень не просто отыскать причину, по которой весь внешний мир сам по себе подчинен той группе симметрии, которой обладает именно $60$ -значное счисление^[9]. Реальную причину в свете современных знаний установить вовсе несложно – она лежит как на ладони. Вполне очевидно, что данной уникальной коммуникативной способностью человек обладает именно в силу своих внутренних свойств, определяемых прежде всего спецификой внутреннего строения своего собственного генома, размерность группы симметрии внутренних квантовых состояний которого равна числу 60, т. е. в точности совпадает с размерностью группы счисления шумеров. Знали ли об этом древние шумеры или нет, остается загадкой^[10], тем не менее язык их чисел действительно предопределен самой природой Человека в качестве главного ресурса искомой коммуникативной системы для межличностного общения в нашей цивилизации, и эмпирические факты современного естествознания со всей убедительностью это подтверждают. А возможность описания на таком языке способов достижения различных результатов доступными Человеку методами (совершенное многообразие которых дано ему также в силу имеющихся у него внутренних свойств) позволит наиболее полно, корректно и непротиворечиво составить разрешимый алгоритм его действий для достижения в том или ином случае правильного состояния (для нужд устойчивого существования), в том числе и с точки зрения требуемого уровня согласованности действий именно с другими субъектами. И этот алгоритм будет понятен любому человеку и любым будет однозначно воспринимаем. В связи с этим собственно эффективная система межличностной коммуникации должна быть представлена наподобие перечня инструкций в форме некоторого алгоритма на основе 60-значного позиционного счисления для взаимодействия между субъектами при решении разного рода задач.

3. Итак, структура языка шумеров обусловлена однотипной внутренней организацией людей – объектов или, точнее, субъектов особой формы материи, которой является наша цивилизация. Первичной организацией или организацией нижнего уровня такого объекта Природы является его геном, так что взаимодействие химических элементов и их соединений, составляющих геном, инициирует любую деятельность человека. Структура языка шумеров обладает словно «снятой через кальку копией» главных симметрий взаимодействующих друг с другом элементов этого генома и их соединений. В этой связи математика проявляется как ресурс уникальной коммуникативной системы, чрезвычайно высокая эффективность которой обеспечивается за счет фактически изоморфного отображения ее языком (счислением шумеров) симметрии множества квантово-механических состояний внутренних элементов генома человека, по сути симметрии первичных или низкоуровневых законов, т. е. всех главных физико-химических законов, внутренней природы самого человека, а значит всех законов, инициирующих вообще какую бы то ни было его деятельность в том числе и познавательную или исследовательскую (восприятие, обработку информации, анализ, мышление и т. д., не говоря уже о деятельности всех внутренних органов и систем, поддерживающих его собственное существование). Выражаясь на языке с такой симметрией, Человек всегда может действовать «в такт» с работой всех внутренних органов и систем как его собственных, так и любого другого такого же субъекта. В связи с этим собственно язык шумеров уже сам по себе является фундаментальным законом нашего мироздания. И отметьте, его открыли древние шумеры еще почти семь тысячелетий назад.
Из всего сказанного следуют такие наиболее общие факторы, на основании которых должно быть построено заключительное определение математики.
Во всех исторически складывавшихся формах социализации людей в те или иные объединения по ходу эволюции возникала необходимость снижения социальной энтропии в процессе межсубъектной коммуникации в разрастающихся коллективах. В качестве ресурса такой коммуникации были задействованы всевозможные средства. Прежде всего это языковые средства – от жестикуляции, мимики, голосовых или звуковых до изобразительных, музыкальных, художественных и т. п, а также средства культурно-исторические, этические, религиозные, идеологические и т. п. Однако ни один из используемых ресурсов не в состоянии исключить возможность коллизий в процессе коммуникации. Поэтому следующим шагом в эволюции Человека должно стать создание специального ресурса, позволяющего достичь эффекта «сверхкоммуникабельности» в произвольном коллективе людей.
Содержательно, математика – это совокупность алгоритмов описания различных феноменов Ноосферы языком чисел шумеров и множество способов их практического применения.
Чрезвычайно высокая эффективность данных алгоритмов обеспечивается тем, что в процессе коммуникации между людьми на таком языке каждый человек всегда будет действовать в точности «в такт» с ритмом работы всех его собственных дискретно функционирующих внутренних органов и систем. Потому что (дискретная) деятельность последних (и вместе, и порознь), в том числе и обеспечивающих его ментальные возможности, определяется, в свою очередь, допустимыми переходами между квантово-механическими состояниями атомных систем внутри каждой мономерной единицы генома человека (внутри каждого звена и, в частности, внутри каждого нуклеотида его ДНК), то есть в каждой тройке его составляющих групп химических элементов (в остатке фосфорной кислоты, в сахаре или дезоксирибозе и в одном из четырех азотистых оснований). Совокупность всех возможных переходов между такими квантово-механическими состояниями в целом представляет некоторое перечислимое, периодичное и самоподобное множество. Максимальное число различных переходов в каждом периоде равно шестидесяти. Оно определяется по числу возможных сочетаний $5\times 4\times 3 = 60$ возбужденных валентных электронов трех основных группо-образующих химических элементов в каждом звене с мономерной единицей, а именно 5-ти валентного фосфора, 4-х валентного углерода и 3-х валентного азота.
Самоподобие элементов или фрактальность всего множества является следствием объединения нуклеотидов в линейную упорядоченную цепочку с двумя возможными направлениями движения вдоль нее:
$\left [ 5\times 4\times 3 ] \times [ 5\times 4\times 3 ]\times \ldots = 60 \times 60 \times \ldots ;$ $\, \, 60^{\pm 1} , 60^{\pm 2} , 60^{\pm 3} , \ldots$ .
Общая симметрия всех элементов данного множества совпадает с симметрией языка чисел шумеров так, что конструктивно упорядоченное множество всех чисел вместе с набором допустимых операций в их языке, как алгебраическая структура, фактически является изоморфным отображением экзистенциальной структуры. А именно, для упорядоченного множества всех чисел в их языке, т. е. для носителя одной структуры, прообразом является упорядоченное множество возможных дискретных устойчивых возбужденных состояний атомных систем генома (ДНК) человека, т. е. «носитель» другой структуры, и, соответственно, для набора всех допустимых операций в их языке прообразом является множество квантовых переходов между возможными состояниями тех же атомных систем в экзистенциальной структуре.
Комплекс возможных внешних динамических воздействий (доступных к регулированию) на сложные внутренние атомные ансамбли мономеров генома и их линейно упорядоченные последовательности с учетом всех возможных симметрий генома, как целого, обеспечивает физическое проявление (возникновение, осуществление) каждого квантового перехода из всего множества дискретных переходов между возможными состояниями тех же атомных систем в экзистенциальной структуре.
В связи с этим, организм каждого человека предстает, образно говоря, как бы копией одного и того же «мерного» инструмента для языка шумеров, в некотором смысле подобно тому, как для языка музыки мерным инструментов является каждая копия метронома.
Далее следует, что математика в целом представляет собой ресурс высокоэффективной коммуникативной системы между людьми, поскольку он обусловлен, как было выше отмечено, не случайными внешними причинами его унификации, а внутренними квантово-механического характера симметриями генома Человека, т. е. является универсальным фактором для каждого субъекта в нашей цивилизации, соответствуя его собственной внутренней структуре.
Данный ресурс позволяет максимально повысить устойчивость существования нашей цивилизации, как особой формы материи среди всех остальных форм окружающего мира (живых и не живых), находящихся друг с другом в постоянном взаимодействии.
Содержательно, повышение устойчивости существования нашей цивилизации в данном случае достигается путем снижения социальной энтропии внутри всего нашего глобального социума. Для этих целей каждый человек обладает мощным собственным внутренним потенциалом, позволяющим ему действовать «в унисон» с любым субъектом из всего социума на нашей планете или даже с каждым из них одновременно, т. е. со всеми сразу.
Поэтому данный ресурс предназначен к использованию для межличностного общения во всех сферах жизнедеятельности человека.

4. Определение
Математика – это совокупность алгоритмов описания различных феноменов Ноосферы языком чисел шумеров, а также совокупность методов составления и способов практического применения указанных алгоритмов, чрезвычайно высокая эффективность которых состоит в том, что все они являются обусловленным внутренними симметриями комплекса квантовых состояний элементов генома Человека ресурсом высокоэффективной коммуникативной системы между людьми, позволяющим максимально повысить устойчивость существования нашей цивилизации как особой формы материи среди всех остальных форм окружающего мира путем снижения социальной энтропии внутри всего нашего глобального социума за счет собственного внутреннего потенциала последнего и предназначенным к использованию для межличностного общения во всех сферах жизнедеятельности человека.
Таким образом, проведенный в данной статье подробный анализ позволяет нам сделать весьма важный вывод и разрешить многовековую проблему. А именно, прояснив природу или сущность математики в ее различных аспектах и предоставив философское обоснование ее необходимости в качестве жизненно важного атрибута для нашей цивилизации, мы получаем возможность, в конце концов, раз и навсегда завершить словесные баталии по поводу различных вариантов ее дефиниций и ответить непосредственно на вопрос «что такое математика», предложив ее понятное, содержательное, наиболее эффективное и полное определение вместо множества регулярных деклараций об ее научном статусе и пространных заявлений о ней, как о средстве, описывающем абстрактные формы, структуры, и отношения между ними, которые сами по себе и порознь и все вместе неизвестно кому и зачем нужны, в то время как никто по этому поводу не дает никаких пояснений.

5. В заключение хотелось бы узнать, а готово ли человечество поступиться искусством, литературой и прочего рода творчеством, да и вообще всеми удобствами собственно языка повседневного общения и с ним связанными такими, в частности, как свобода творчества и даже свобода поведения. Ведь для получения, например, заказанного произведения искусства должен существовать один единственно верный алгоритм его получения, причем заранее «прописанный» на языке шумеров. А если имеется рецепт, его надо выполнять, и никаких «шагов в сторону»… Именно только такое состояние нашей цивилизации будет характеризоваться наименьшей социальной энтропией. Условно говоря, в этом случае практически вся работа, совершенная исполнителем, т. е. без лишнего «ее рассеивания», перейдет в созданный шедевр или воплотится в нем. И так должно быть не только в творчестве, но и во всякой человеческой деятельности, в том числе и в повседневной жизни. Человечество будет похоже не на «фауну» уже и даже не на «флору», а скорее на еще одну разновидность формы уже неживой материи. Однако, вероятнее всего, в нашей цивилизации это будет не повседневный язык, а язык специального общения. Он будет использоваться в тех случаях, когда действительно потребуется режим специального эффекта сверхкоммуникабельности, позволяющий решить поставленные задачи и достичь запланированной цели в кратчайшие сроки и с наименьшими энергозатратами. В повседневной же жизни, на этом языке будут работать автоматы, каждый выполняя ограниченный круг задач.

6. Внутривидовая энтропия связана непосредственно с информированностью социума, а именно, с количеством информации, полученной его субъектами в виде алгоритмов описания тех или иных феноменов Ноосферы языком чисел шумеров. Такие алгоритмы остаются в генетической памяти вида и занимают конечное количество нуклеотидов, мономерных единиц генома Человека. В связи с этим количество информации удобно измерять не в битах, имеющих всего два различных состояния, а в шумитах, имеющих шестьдесят упорядоченных состояний. От поведения субъектов в ситуации, когда задействуется данный алгоритм, требуется не свобода действий, но только лишь неукоснительное следование поэтапному исполнению его предписаний. Таким образом увеличение количества информации, которым социум обладает в форме подобного рода алгоритмов, снижает его внутривидовую энтропию. В предельном случае, когда социум обладает всей полнотой алгоритмов действия во всех случаях своего существования, его внутривидовая энтропия равна нулю. Кстати, информационная энтропия и у Клода Шеннона определялась через разность между информацией, содержащейся в сообщении, и той частью информации, которая точно известна в сообщении, поскольку последняя не вносила совершенно никакого вклада в его энтропию.
Социальная (внутривидовая) энтропия – мера отклонения состояния социальной системы или популяции данного вида от ее предельного состояния, в котором ее социальная энтропия полностью отсутствует, т. е. имеет нулевое значение.

7. Алгоритм – комплекс предписаний какой-либо системе для достижения определенной цели, изложенных на некотором языке и предназначенных для исключения увеличения энтропии в результате их исполнения системой.

8. Ноосфера – пространственно-временное многообразие, являющееся частью замкнутой системы, в пределах которого изменяется внутрисоциальная (внутривидовая) энтропия нашей цивилизации и в пределах которого естественная эволюция цивилизации происходит с уменьшением ее внутрисоциальной энтропии в соответствие с законом эволюции Дарвина.

9. Из приведенного материала следует вывод, что парадигма современного естествознания, сформированная под воздействием работы И. Ньютона «Математические начала натуральной философии», очевидно, подлежит ревизии. В частности, концепция математики и ее начала от мыслителей древних шумер предполагают расширение философии Природы И. Ньютона до философии Ноосферы, в которой Человек рассматривается не только в качестве наблюдателя во всех взаимодействиях в окружающей среде, но и в качестве полноправного и, более того, главного их участника, поскольку адекватное и однозначное их восприятие Человеком допустимо только с учетом внутренней структуры его самого или, по крайней мере, с учетом возможной симметрии состояний мономеров его генома. А подобного рода ревизия данной парадигмы требует, прежде всего, дальнейшего изучения внутренней природы Человека и более интенсивного вовлечения новых результатов о ней в научный оборот.

Некоторые могут засомневаться, что все известные математические структуры, можно подвести под это определение. На это можно ответить следующим образом. Если с помощью тех или иных математических структур или при их посредничестве можно перейти к конкретным числовым вычислениям, то они уже являются частью того языка, который упоминается в определении. Будучи частью языка шумеров, рано или поздно найдутся алгоритмы, упоминаемые в определении, с помощью которых будут описываться феномены окружающей среды. А потому они с полным правом будут относиться к действительным математическим структурам, полностью подпадая под приведенную дефиницию математики. А до тех пор, пока им, стоящим особняком, не найден способ их участия в алгоритмах, производящих числовые вычисления, им в принципе отводится только удел быть потенциальными структурами математики. Вот и всё. Математика не стоит на месте, алгоритмы расчетов развиваются, поэтому рано или поздно любая потенциальная структура станет действительно математической.

ПРИЛОЖЕНИЕ

(В силу обилия специальных математических символов, обозначений и формул Приложение доступно только в файлах PDF и WORD форматов. Данные файлы можно просмотреть или скачать, пройдя по ссылке внизу данной страницы)

Примечания

^[1] Пожалуй, если выразить эту же мысль словами «Потому что каждая из $60$ различных букв алфавита обозначает ничто иное, как одно из следующих целых чисел египетских треугольников $0, \: 1, \: 2, \: \ldots, \: 20, \: \ldots, \: 59$ , мол, не важно, что они заметают при этом определенную геометрическую площадь», то это, вероятно, первый шаг на пути к отделению алгебры от геометрии в математике шумеров и превращению их в самостоятельные «абстрактные науки».

^[2] Конечно, правильнее было бы сказать «площадь, которую определяет порядковый номер буквы алфавита от $0$ до $59$ ». Однако для краткости вместо шестидесяти буквенных символов здесь используются их порядковые номера в данном алфавите.

^[3] Вот где собака зарыта! (нем.)

^[4] А в пользу этого тезиса можно привести результаты исследования из книги [3]. Автор констатирует: «От самого Пифагора не дошло ни одной строчки – по-видимому, он действительно ничего не писал.» [стр.3]. Он также приводит, что: «…Исократ утверждал, что Пифагор воспринял свою философию в Египте (Бус. 28), а Аристотель назвал эту страну родиной теоретической математики (Мет. 981 b 23)» [стр.20]. Тем не мене сам автор настаивает: «Греки не могли заимствовать философию и науку в готовом виде (как это сделали, например, римляне) по той простой причине, что в VI в. до н. э. на Востоке не было ни того, ни другого» [стр.19]. В то же время в соседнем абзаце автор приводит следующее: «Ни один исследователь не может пройти мимо “восточного” стиля в греческой живописи эпохи архаики, явного подражания мастеров того времени образцам египетской монументальной скульптуры, заимствования алфавита у финикийцев или чеканки монеты у лидийцев, восточных мотивов в греческой мифологии. Велика была роль Востока и в передаче технических навыков. Однако при обсуждении проблем распространения культурных феноменов (как материальных, так и духовных) следует учитывать, что степень их «социальной мобильности» чрезвычайно различна. Как правило, легче всего распространяется то, что дает непосредственную экономическую и социальную выгоду (орудия труда, средства передвижения, оружие, культурные растения и т. п.), что может быть воплощено в конкретных вещах, которые нетрудно воспроизвести (предметы обихода, одежда, обувь и т. п.), наконец, то, что имеет наибольшее количество носителей и сравнительно легко передается (мифы, обряды, фольклор и т. п.)» [стр.19-20]. Из последнего следует вполне не двузначный вывод, прямо противоречащий выводу самого автора. А именно, такое орудие труда, как египетский треугольник, а также все его «чудесные» свойства не могли не перейти к грекам с Востока. А вместе с ним и наука о нем, несомненно, стала фундаментом науки, продвигаемой Пифагором. Очевидно, что то, что он продвигал просто еще не имело в то время названия ни философии, ни науки. Да и в наше время многие так не считают и называют истинной наукой только ту, которой занимаются современники. «Феномен науки раскрывается в ее истории, особенно в периоды быстрого роста или даже взлета научного знания. С этой точки зрения наибольшего внимания заслуживают два периода: VI – IV вв. до н. э., эпоха зарождения науки, и XVI – XVII вв., время великой научной революции, сформировавшей науку Нового времени. Собственно говоря, сравнение этих периодов и дает пищу для многочисленных споров о месте и времени зарождения науки как таковой. Многие ученые полагают, что наука в современном смысле слова возникла лишь в Новое время. Тем самым деятельность греческих ученых лишается статуса научной» [стр.6].

^[5] «…невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой, ибо никакого рационального объяснения этому факту нет.»

^[6] В современной математике говорят, что два результата равны между собой, если каждый из них равен третьему.

^[7] Примечательный факт, что еще в 1995 году в работе А. В. Родина [6], хотя и с совершенно иных позиций, впервые была предложена «трактовка второй книги “Начал”, основанная на предположении о том, что главной целью теории Евклида является нахождение способа построения (в смысле аксиом и постулатов “Начал”) квадрата, равновеликого произвольному данному многоугольнику.»

^[8] Можно представить себе картину, когда группа слонов «кучкуется» вместе, отбиваясь от наседающей на них густой тучи москитов, парящих вокруг и безжалостно их жалящих. Подобно этому и отдельные бесструктурные частицы-кварки не имеют возможности разлететься и склеиваются под воздействием окружающих их бесструктурных переносчиков взаимодействий – глюонов. Название последних, кстати говоря, и произошло от английского слова, означающего клей.

^[9] Вот метафора от известной детской сказки: можно не строить город изумрудным, достаточно, чтобы в нем все люди носили не снимая зеленые очки.

^[10] Хотя историки нашего времени еще не имеют надежных артефактов, свидетельствующих в пользу обладания шумерами знаниями, далеко выходящими за рамки представлений современного человека о возможностях ученой мысли в те далекие времена, но тем не менее многие исследователи этой древней цивилизации высказывают предположения, вполне аргументированные косвенными материалами, что в распоряжении шумеров были знания естественнонаучного характера в намного большем объеме, нежели это представляется с позиций дня сегодняшнего. Здесь мы не будем более углубляться в анализ проблемы, почему шумеры создали именно этот язык. Достаточно аргументов, приведенных в первой части данной статьи и в обсуждаемой книге.

Литература

Данилова М. И., Спасова Н. Э., Суховерхов А. В. Происхождение, эволюция и специфика естественного языка и коммуникации в природе. Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года.
Е.Вигнер. Непостижимая эффективность математики в естественных науках. УФН, т.94, вып.3, 1968, 535 – 546. Пер. с англ.: E.Wigner. The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Comm. Pure and Appl. Math. 131, 1 (1960).
Жмудь Л. Я. Пифагор и его школа. — Л.: Наука, 1990. — 193 с
Клайн М. Математика. Поиск истины; пер. с англ. В. И. Аршинова, Ю. В. Сачкова. – М: Мир, 1988. – 295с.
Стюарт И. Истина и красота: Всемирная история симметрии / Иэн Стюарт; пер. с англ. А. Семихатова. – М.: Астрель: CORPUS, 2010. -461, [3] с. – (ЭЛЕМЕНТЫ)
Родин А. В., Вторая книга «Начал» Евклида и «геометрическая алгебра древних». Философские науки, 1995, №1, стр. 99–112.
А. П. Юшкевич. А. Н. Колмогоров о сущности математики и периодизации её истории. Историко-математические исследования, 1994. Вып.35, С.9-22.
М. Клайн. Математика. Утрата определённости. – М.: Мир, 1984. 434с.
Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? – 3-e изд., испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2001.—568 с.15.
Muller D. The Surprising Secret of Synchronization. Veritasium. Интернет-ресурс “@veritasium”; https://www.youtube.com/watch?v=t-_VPRCtiUg ; (рус.): https://www.youtube.com/watch?v=HmmYtopGx7Y
Acebron, Juan A.; Bonilla, L. L.; Vicente, Perez; Conrad, J.; Ritort, Felix; Spigler, Renato (2005). «The Kuramoto model: A simple paradigm for synchronization phenomena». Reviews of Modern Physics. 77 (1):137–185. DOI: https://doi.org/10.1103/RevModPhys.77.137
Ньютон И. Математические начала натуральной философии М: Наука, 1989.
Юшкевич А. П. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. М.: Наука. т.1,2,3 – 1970–1972.
Успенский В. А. Теорема Геделя о неполноте – М.: Наука, 1982. – 112с.
Успенский В. А. Семь размышлений на темы философии математики. Интернет-ресурс Physics Animation: http://physics-animations.com/matboard/themes/1600.html
Начала Евклида. Пер. и комм. Д. Д. Мордухай-Болтовскогопри ред. участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. В 3 т. (Серия «Классики естествознания»). М.: ГТТИ, 1948-50. 6000 экз.
Платон, Тимей, 511с Сочинения в четырех томах. Т.3. / Под общ. Ред. А. Ф. Лосева и В. Ф. Асмуса; Пер. С древне-греч. – СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та; «Изд-во Олега Абышко», 2007. – 731с.
Крамер С. Н. История начинается в шумере; под ред. В. В. Струве. пер. с англ. Ф. Л. Мендельсона. – М: Наука, 1965. – 256с.
Нагель Э., Ньюмен Д. Р. Теорема Геделя: Пер. с англ. Изд. 2-е, испр. – М.: КРАСАНД, 2010. – 120 с.
Шапошников В. А. Философия математики // Философия науки: учебник для магистратуры. Под ред. А. И. Липкина, 2-е изд., перераб. и доп. М.: Издательство Юрайт, 2015, гл. 20 (с. 409–447).
Чуличков О. Г. Математические основания философии Ноосферы – Самара : ИП Зуев Сергей Анатольевич, 2020. – 191 с.
Чуличков О. Г. К теории всего от древних шумеров. Персональный интернет-ресурс: https://chulichkov.com/.
Чуличков О. Г. О способах представления чисел. «Доклады независимых авторов», изд. «DNA», 2021, вып. 51, ISSN 2225–6717, Lulu Inc., ISBN 978-1-684715671, http://dna.izdatelstwo.com/.
Чуличков О. Г. О способах представления чисел. «Доклады независимых авторов», изд. «DNA», 2021, вып. 53, ISSN 2225–6717, Lulu Inc., ISBN 978-1-471718090, http://dna.izdatelstwo.com/
Чуличков О. Г. Философские основания и начала математики. «Доклады независимых авторов», изд. «DNA», 2024, вып. 63, ISSN 2225–6717, Lulu Inc., ISBN 978-1-300739791, http://dna.izdatelstwo.com/.

К началу

Печать / PDF 📄

Философские основания и начала математики

Философские основания и начала математики

Начала математики

Оглавление

I. Философские основания математики

1. Предпосылки и концепция специальной коммуникативной системы шумеров

2. Способ реализации концепции шумеров

II. Начала математики

1. Система коммуникации древних шумеров

1.1. Первичный анализ системы шумеров

1.2. Начальные уроки логики древних

2. Система шумеров – фундамент теории математики

2.1. Предпосылки для расширения математики шумеров

2.2. Расширение Пифагора

2.3. Типовой метод расширения и начала теоретической математики

3. Онтология уникальной симметрии счисления шумеров

3.1. Сравнение счисления шумеров с десятичным

3.2. Экзистенциальные причины уникальности счисления шумеров в симметрии генома человека

III. Что такое математика

ПРИЛОЖЕНИЕ

Примечания

2.3. Типовой метод расширения и начала
теоретической математики